Дифференцирование сложной функции

 

а) Пусть - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t, т.е. , .

Тогда функция является сложной функцией независимой переменной t. Переменные х и у являются промежуточными аргументами.

Предположим, что и дифференцируемые функции. Придадим переменной t приращение Δt, тогда и получат соответственно приращения Δх и Δу и приращение Δz будет иметь вид:

, где

и

Разделим Δz на Δt:

и перейдём к пределу при Δt→0:

=

= .

Из дифференцируемости функций и , следует их непрерывность, т.е. и .

Следовательно,

; .

Таким образом,

(1)

Пример.

, ,

Решение.

; ; ;

Итак,

-

Замечание. Если , где , то - сложная функция одной переменной. Тогда

или

(2)

Производную (2) называют полной производной функции .

Пример. ,

Решение.

; ;

 

 

Проверка. Имеем

= .

б) Пусть , где и . Функция является сложной функцией независимых переменных u и v, а переменные х и у называют промежуточными аргументами.

Предположим, что все функции дифференцируемые. Чтобы найти , надо считать, что v=const. Тогда х и у становятся функциями только одной переменной и мы приходим к рассмотренному случаю. Разница только в том, что и заменяются частными производными и .

Таким образом,

(3)

Пример. ; ;

Решение.

;

; ;

;

Имеем

= -

= -

4. Инвариантность формы полного дифференциала.

 

Если х и у – независимые переменные, то полный дифференциал функции имеет вид

(4)

Пусть и , тогда и функция z является функцией независимых переменных u и v:

По определению полного дифференциала на основании равенства (4) имеем

 

Учитывая формулы (3), получим

Раскроем скобки и вынесем за скобки и :

;

Учитывая, что

,

получим

(5)

Сравнивая равенства (4) и (5) делаем вывод.

Дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли её аргументы х и у независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Таким образом, для функции 2-х переменных имеет место свойство инвариантности формы полного дифференциала.

Для функции 2-х переменных имеют место правила дифференцирования, выраженные следующими формулами:

1)

2)

3) , где

4)

5) , где ,

где u,v,w – функции любого числа переменных.

Пример.

; ;

Решение.

( - ) ( - )

Или, учитывая, что

,

() - ()=

=( - ) ( - ) .

 

Заключение.

 

Важной частью исследования функций является локальное исследование, под которым понимается сравнение значения функции в данной точке со значениями функции в точках, близких к данной. Всё изложение данной лекции было проведено на примере функции двух переменных, это позволяет сделать обсуждение геометрически наглядным. Следует заметить, что каждое утверждение о функции двух переменных, которое было приведено, без труда обобщается на случай функции п -переменных.