а) Применение полного дифференциала для вычисления функций.
Из определения полного дифференциала функции с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно можно записать приближённое равенство: или
+ , отсюда
+ +
или +
Последняя формула используется в приближённых вычислениях для нахождения значений функции , близких к значению функции .
+ .
Пример: Вычислить 1,033,001
= , х0=1, у0=3,
+
= +
,
=3·12=3, =13·ln1=0
=3·0,03+0·0,001=0,09
=13=1
Таким образом 1,033,001 1+0,09=1,09
б) Применение дифференциала при оценке погрешности вычислений.
Пусть некоторая величина u является функцией величин х и у, т.е. . При определении величин х и у были допущены погрешности ∆ х и ∆ у соответственно.
Тогда значение величины u, вычисленное по неточным значениям аргументов, получится с погрешностью
∆ и=
Но
Значения частных производных и значения ∆ х и ∆ у могут быть как положительными, так и отрицательными. Заменяя их абсолютными величинами, получим неравенство:
Если через и обозначить и - границы для абсолютных погрешностей величин х и у, то максимальная абсолютная погрешность величины и примет вид
отношение абсолютной погрешности ∆ и величины и к приближенному значению и этой величины называется относительной погрешностью этой величины.
Обозначение .
Максимальной относительной погрешностью величины и называется отношение максимальной абсолютной погрешности к абсолютной величине и и обозначается
Следовательно
=
Учитывая, что , будем иметь
или
Максимальная относительная погрешность функции равняется максимальной абсолютной погрешности логарифма этой функции.
Пример: Наклонная дальность НД связана с высотой полета h и углом
визирования β зависимостью:
НД=
Условия определения НД: h=10000м., β=600. Определить
максимальную абсолютную погрешность и максимальную
относительную погрешность при изменении НД, если высота
полета измеряется с максимальной абсолютной погрешностью
=150м., а угол визирования – с максимальной абсолютной
погрешностью рад.
Решение:
; =
;
Итак, м. %