Полное приращение функции. Полный дифференциал

Введение.

Пусть дана функция одной переменной , имеющая производную. Дифференциал этой функции вычисляется по формуле . Таким образом понятие дифференциала определено для всякой функции, имеющей производную, и поэтому выражение «функция дифференцируема» означает как то, что она имеет производную, так и то, что она имеет дифференциал.

В случае функции нескольких переменных дело обстоит по-другому: существование частных производных является необходимым условием дифференцируемости функции в точке, но не является достаточным условием. Дифференцируемость имеет место, если дополнительно потребовать непрерывность частных производных.

Полное приращение функции. Полный дифференциал.

Придадим аргументу приращение , а аргументу приращение , получим полное приращение функции , которое обозначается :

= -

Предположим, что в точке имеет непрерывные частные производные и .

Выразим полное приращение через частные производные. Для этого в правой части записанного равенства вычтем и прибавим :

= - + -

Выражения - и - можно рассматривать как разности 2-х значений функций одной переменной. Применяя к этим разностям теорему Лагранжа, получим - = , где ;

- = , где .

Тогда = + .

Если и - непрерывны, то ;

, тогда

где и , если

Следовательно,

= + +

Сумма является бесконечно малой высшего порядка относительно : и , так как и - бесконечно малые, а

и .

Выражение + - линейное относительно и и представляет собой главную часть приращения , отличаясь от на бесконечно малую высшего порядка относительно .

Определение: Главная часть полного приращения функции ,

линейная относительно приращений аргументов и ,

называется полным дифференциалом этой функции.

Обозначается полный дифференциал или .

По определению = или =

Учитывая, что , , можно записать

= или = .

Определение: Функция полное приращение которой в точке

может быть представлено в виде

= + + ,

называется дифференцируемой в данной точке.

Из определения следует, что наличие у функции полного дифференциала обеспечивает существование у этой функции частных производных в точке .

Из существования у функции в некоторой точке частных производных не следует её дифференцируемость в этой точке, т.е. наличие у этой функции полного дифференциала. Условие дифференцируемости функции двух переменных устанавливает следующая теорема.

Теорема: Если функция имеет в точке М непрерывные

частные производные и , то в этой точке функция