Полный дифференциал.
Введение.
Пусть дана функция одной переменной , имеющая производную. Дифференциал этой функции вычисляется по формуле . Таким образом понятие дифференциала определено для всякой функции, имеющей производную, и поэтому выражение «функция дифференцируема» означает как то, что она имеет производную, так и то, что она имеет дифференциал.
В случае функции нескольких переменных дело обстоит по-другому: существование частных производных является необходимым условием дифференцируемости функции в точке, но не является достаточным условием. Дифференцируемость имеет место, если дополнительно потребовать непрерывность частных производных.
Полное приращение функции. Полный дифференциал.
Придадим аргументу приращение , а аргументу приращение , получим полное приращение функции , которое обозначается :
= -
Предположим, что в точке имеет непрерывные частные производные и .
Выразим полное приращение через частные производные. Для этого в правой части записанного равенства вычтем и прибавим :
|
|
= - + -
Выражения - и - можно рассматривать как разности 2-х значений функций одной переменной. Применяя к этим разностям теорему Лагранжа, получим - = , где ;
- = , где .
Тогда = + .
Если и - непрерывны, то ;
, тогда
где и , если
Следовательно,
= + +
Сумма является бесконечно малой высшего порядка относительно : и , так как и - бесконечно малые, а
и .
Выражение + - линейное относительно и и представляет собой главную часть приращения , отличаясь от на бесконечно малую высшего порядка относительно .
Определение: Главная часть полного приращения функции ,
линейная относительно приращений аргументов и ,
называется полным дифференциалом этой функции.
Обозначается полный дифференциал или .
По определению = или =
=
Учитывая, что , , можно записать
= или = .
Определение: Функция полное приращение которой в точке
может быть представлено в виде
= + + ,
называется дифференцируемой в данной точке.
Из определения следует, что наличие у функции полного дифференциала обеспечивает существование у этой функции частных производных в точке .
Из существования у функции в некоторой точке частных производных не следует её дифференцируемость в этой точке, т.е. наличие у этой функции полного дифференциала. Условие дифференцируемости функции двух переменных устанавливает следующая теорема.
Теорема: Если функция имеет в точке М непрерывные
частные производные и , то в этой точке функция
дифференцируема. Из дифференцируемости функции
в точке М следует
1) её непрерывность в этой точке;
|
|
2) существование в этой точке её частных производных и
.
Пример: Найти функции .
=
= ; =
= .
Выражения или и или называют частными дифференциалами по х и по у соответственно функции в точке и обозначают и или
и .
Следовательно, = + или = + .