Согласующие цепи на реактивных элементах

Построение согласующих Г-, Т- и П-образных цепей на сосредоточенных реактивных элементах основано на следующем прин­ципе: произвольную последовательную цепь, состоящую из последовательно вклю­ченных активного R_s и реактивного X_s сопротивлений, можно заменить эквивалент­ной цепью, состоящей из параллельно включенных активного R_p и реактивного Х_р сопротивлений (рис. 2.2). Для последовательной цепи: Z = R_s + jX_s, т. е.

. (2.1)

Для параллельной цепи , следовательно,

. (2.2)

Приравниваем (4.5) и (4.6):

. (2.3)

С целью упрощенной записи введем понятие добротности для цепей, изображенных на рис. 2.2:

Q = 2π ƒ = W / W _с, где W – энергия, запасенная в цепи; W _с – энергия, рассеиваемая в цепи за 1 с. Для последовательной цепи LR (рис. 2.2):

Q = X_s / R_s. (2.4)

Для параллельной цепи LR:

Q = R_P / X_P (2.5)

Подставляя (2.4) и (2.5) в (2.3), получаем

R_p / R_s = Q ² + 1 (2.6)

 

Рис. 2.2. Последовательная и параллельная LR -цепи

 

Из (2.6) следует, что два произвольных активных сопротивления R_p и R_s могут быть согласованы, если обеспечить требуемую добротность согласующей цепи.

 

Рис. 2.3. Г-образная согласующая цепь

 

В согласующих LC -цeпяx доброт­ность Q зависит только от отношения входного и выходного сопротивлений, что является их недостатком, посколь­ку с помощью таких цепей можно сог­ласовывать сопротивления, значения которых заметно отличаются друг от друга. Целесообразно выбирать доброт­ность цепи в пределах 10…20. При более низких Q слабо подавляются гармоники входного сигнала. Слиш­ком высокая добротность приводит к увеличению потерь в цепи из-за боль­ших токов при резонансе. В случае, если требуются слишком высокие Q, т. е. перепад согласуемых сопротивлений велик, используют каскадное соединение двух и более секций с более низкими значениями Q.

Применение Т-образных цепей позволяет устранить некоторые недостатки Г-звена. Такую согласующую Т-образную цепь из реактивных элементов можно представить состоящей из двух Г-звеньев, нагруженных на эквива­лентное активное сопротивление R _экв (рис. 2.4). Такое представление удобно, поскольку позволяет для расчета использовать свойства Г-звена. Значение R _экв должно быть больше каждого из значений согласуемых сопротивлений R ₁ и R ₂, т. к. согласно (2.6) R _экв / R _1‚2 = Q ²_1‚2 + 1. Реактивное сопротивление Х ₃ образуется параллельным соединением Х '₃ н Х ''₃. При расчете схемы предполагается, что извест­ны R ₁, R ₂ и добротность Q.

 

Рис. 2.4. Т-образная согласующая цепь: а - эквивалентная схема; б - разбиение на Т-образные секции; в - конкретная реализация цепи

 

Для первого Г-звена (рис. 2.4, а) из (2.6) находим R _экв / R ₁ = Q ²₁ + 1, где R ₁ извест­но, a Q ₁ можно выбрать произвольно. Определяем сопротивление

R _экв = R ₁(Q ²₁ + 1). (2.7

Если рассчитанное по (2.7) значение R _экв окажется меньше R ₁ или R ₂, то следует увеличить Q ₁ и вычислить новое значение R _экв. Из (2.4) и (2.5) определяем

X '₃= R _экв/ Q ₁. (2.8)

X ₁ = R ₁ Q ₁. (2.9)

Для второго Г-звена (рис. 2.4 а) из (4.10) находим

R _экв / R ₂ = Q ₂ + 1.

Поэтому

. (2.10)

С помощью (2.10) из (2.4) и (2.5) определяем

X ″₃= R _экв/ Q ₂ (2.11)

X ₂= R ₂ Q ₂. (2.12)

Таким образом, для Т-образной цепи (рис. 2.4, б):

Х ₃ = Х '₃ Х "₃ / (Х '₃ + Х "₃). (2.13)

Перейдем к рассмотрению согласующих П-образных цепей из реактивных элемен­тов (рис. 2.5, а). Для анализа такой цепи, как и ранее, представим ее в виде двух Г-звеньев, нагруженных на активное сопротивление R _экв (рис. 2.5, б). Значение R _экв должно быть меньше каждого из значений согласуемых сопротивлений R ₁, R ₂ т. к. согласно (2.6) R _экв / R _1‚2 = + 1, а реактивное сопротивление Х ₃ образуется последовательным соединением Х '₃ и Х "₃.

Рис. 2.5. П-образная согласующая цепь: а - эквивалентная схема; б - разбиение на Т-образные секции; в - конкретная реализация цепи

 

 

Для первого Г-звена (рис. 2.5, б) по известным R ₁ и R ₂ и заданной добротности Q ₁ из (2.6) находим

R _экв = R ₁( + 1). (2.14)

Если R _экв рассчитанное из (2.14), будет больше R ₁ или R ₂, то необходимо увеличить Q ₁ и вычислить новое значение R _экв. Из (2.4) и (2.5) определяем

X '₃ = R _экв Q ₁, (2.15)

X ₁ = R ₁/ Q ₁. (2.16)

Для второго Г-звена из (2.6) следует

= R ₂/(R _экв – l). (2.17)

С помощью (2.17) из (2.4) и (2.5) находим

X ″₃= R _экв Q ₂, (2.18)

X ₂ = R ₂/ Q ₂. (2.19)

Определяем Х ₃ для П-образной цепи:

Х ₃= Х '₃+ Х "₃. (2.20)

Согласующие шлейфы

 

По формулам, позволяющим определять входное сопротивление короткозамкнутых или разомкнутых на конце отрезков линии передачи, часто называемых шлейфами, была построена зависимость входного сопротивле­ния короткозамкнутого или разомкнутого на конце отрезка линии от его длины (рис. 1.9). При длинах отрезка, меньших четверти длины волны, его входное сопротивление носит чисто индуктивный или чисто емкостный характер в зависимости от режима на конце линии. Четвертьволновый отрезок позво­ляет осуществлять инверсию сопротивления, а полуволновый отрезок является трансформатором сопротивлений с единичным коэффициентом трансформации [1].

Входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии передачи без потерь при заданной его длине определяется по формуле

Z _{вх КЗ} = Z _в tg(j β l), (2.21)

результаты расчета по которой представлены на рис. 2.6, где построена зависимость входного сопротивления указанного отрезка от частоты при фиксированной его длине. Пользуясь графи­ком на рис. 2.6, можно сделать ряд важных выводов. Функция входного сопротивле­ния является периодической, что обусловлено периодичностью тригонометрической функции тангенса в формуле (2.21). На низких частотах входное сопротивление носит чисто индуктивный характер, причем его значение возрастает по мере приближения частоты к значению ν_ф<(4 l). Здесь физическая длина отрезка равна четверти длины волны в линии. На этой частоте значение тангенса бесконечно велико, т. к. его аргумент равен π/2. Бесконечно большое реактивное сопротивление имеет также параллельный резонансный контур на частоте резонанса. Поэтому на данной частоте рассматриваемый отрезок по своим свойствам эквивалентен параллельному контуру из сосредоточенных элементов.

Рис. 2.6. Частотная зависимость входного сопротивления короткозамкнутого отрезка линии

 

При дальнейшем увеличении частоты входное сопротивление становится чисто емкостным, т. к. значения тангенса отрицательны. Затем входное сопротивление изменяется от емкостного к индуктивному, проходя через нуль на частоте f =ν_ф/(2 l). Аналогичное явление наблюдается в последовательном резонансном LC -контуре. При дальнейшем повышении частоты эти явления периодически повторяются. Отметим, что для частот, на которых наблюдается последовательный резонанс, длина отрезка равна или кратна половине длины волны в линии (отрезок работает как полуволновый трансформатор). Функция входного сопротивления в окрестности точек с нулевым значением сопротивления меняется примерно линейно с изменением частоты, т. к. tg x ≈ x при малых х. Поэтому короткозамкнутый или разомкнутый отрезок линии в окрестностях этих точек может в первом приближении рассматриваться как сосредо­точенная емкость или индуктивность, если его электрическая длина меняется в интервале ± λ/20.

На круговой диаграмме (прил. 1) входно­му сопротивлению короткозамкнутого (Z _н = 0) отрезка линии без потерь соответству­ют точки с нулевым значением активного сопротивления. По мере увеличения частоты точка, соответствующая входному сопротивлению, перемещает­ся по окружности с К _{ст U} = ∞ по часовой стрелке в сторону генератора. Двигаясь вдоль этой окружности по часовой стрелке, получаем те же значения сопротивлений, что и по формуле (2.21). Зависимость на рис. 2.6 легко перестроить в зависимость входного сопротивления короткозамкнутого отрезка от его длины на фиксированной частоте.

Возможность реализации произвольных значений индуктивности и емкости с помощью короткозамкнутых и разомкнутых шлейфов позволяет широко использо­вать их при построении согласующих схем. Важным достоинством шлейфов является возможность их перестройки. С помощью шлейфа можно согласовать комплексную нагрузку с питающей линией или генератором.

Достоинством такой схемы согласования по сравнению с четвертьволновым трансформатором является то, что в первом случае используется отрезок линии с таким же волновым сопротивлением, как и у согласующей линии передачи.

В согласующей схеме (рис. 2.7) одиночный шлейф подключается на расстоянии от нагрузки параллельно основной линии передачи. Поэтому весь расчет удобно вести при переходе к проводимостям. Согласование обеспечивается, если шлейф подключить на таком расстоянии от нагрузки, чтобы нормированная входная проводи­мость линии Y ^'_вх = 1 ± jB'. Проводимость шлейфа подбирается из условия компенса­ции реактивной составляющей ± jB' проводимости Y ^'_вх, что достигается подбором длины l шлейфа.

Пример 2.1. Согласовать нагрузку, имеющую сопротивление (75 - j 125) Ом, с 50-омной линией, полагая потери в линии малыми. Расчет провести для частоты 500 МГц при условии, что в линии ν _ф= 3×10⁸ м/с. Схему согласования построить с использованием одиночного параллельно включенного шлейфа.

 

Рис. 2.7. Согласование с помощью одиночных короткозамкнутого (a) и разомкнутого (б) шлейфов

 

Решение

Дано: f = 0,5 ГГц; ν _ф = 3×10¹⁰ см/с; Z _в= 50 Ом; Z _н= = (75 – j 125) Ом; затухание в линии равно нулю.

1. Определяем нормированное к Z _в= 50 Ом сопротивление нагрузки Z '_н = (75 - j 125)/50 = (1,5 - j 2,5), которому соответствует точка А на диаграмме (прил. 1).

2. Через точку А проводим окружность постоянного К _{ст U} = 5,0.

3. Определяем проводимость нагрузки, для чего проводим прямую из центра диаграммы через точку А. Эта прямая пересекает окружность постоянного K_АU = 5,0 в точке В соответствующей проводимости нагрузки, абсолютное значение которой равно (4 + j 6).

4. Прямая из центра диаграммы, проходящая через точку В, пересекает шкалу "Длины волн к генератору" в точке С, которой соответствует значение 0,048λ.

5. Наносим на диаграмму точку D, лежащую на пересечении окружности постоянного К _{ст U} = 5,0 и окружнос­ти, где активная часть проводимости равна единице.

6. Проводим через точку D прямую из центра диаграммы, пересекающую шкалу "Длины волн к генератору" в точке Е, которой соответствует значение 0,185 l.

7. Определяем расстояние от нагрузки до места подключения шлейфа: l =(0,185-0,048) λ= 0,138 λ.

На этом первая часть расчета завершается. Перейдем к определению длины l_х шлейфа, необходимого для компенсации реактивной составляющей проводимости Y ^'_вх = (1 + j 1,9), которая соответствует точке D на диаграм­ме; длину шлейфа выбираем так, чтобы его нормированная входная проводимость была - j 1,9.

8. Используем в согласующей схеме короткозамкнутый шлейф. Поскольку расчет проводится по проводимости, то короткому замыканию на конце шлейфа соответствует точка F на диаграмме, а прямая из центра через точку F пересекает шкалу "Длины волн к генератору" в точке со значением 0,25λ.

9. Передвигаемся от точки F по окружности постоянного К _{cт U} =∞ в сторону генератора до тех пор, пока нормированная входная проводимость шлейфа не достигнет значения - j 1,9 (точка G). Прямая из центра диаграм­мы, проходящая через точку G, пересечет шкалу "Длины волн к генератору" в точке со значением 0,327 λ.

Следовательно, длина шлейфа

l ₁ = (0,327 − 0,25) λ = 0,077 λ.

10. Определяем физические размеры l и l ₁ линий с Z _в= 50 Ом. Так как λ _g = ν _ф /f = 3×10¹⁰ / 500·10⁶= 60 см, то l = 0,137·60 = 8,22 см; l ₁ = 0,077·60 = 4,62 см.

На этом расчет закончен.

Пример 2.2. Повторить расчет из примера 2.1, однако согласующую схему проектировать на основе разомкнутого на конце шлейфа.

Решение

Повторяем весь расчет из предыдущего примера вплоть до п. 8, который выполняется с помощью построе­ний (прил. 2). На круговой диаграмме полных проводимостей точка F соответствует нулевой проводимости, подключенной к концу разомкнутого шлейфа. Прямая из центра, проходящая через точку F, пересекает шкалу "Длины волн к генератору" в точке со значением 0,0. Затем, как и в предыдущем примере, передвигаемся от точки F по окружности постоянного К _{cт U} =∞ в сторону генератора до тех пор, пока нормированная входная проводимость шлейфа не достигнет значения - j 1,9 (точка G). Прямая из центра, проходящая через точку G, пересекает шкалу "Длины волн к генератору" в точке со значением 0,327λ. Поэтому длина шлейфа l ₁ = (0,327 - 0,00)λ = 0,327λ = 0,25 λ+ +0,077 λ, т. е. на частоте f = 500 МГц физическая длина разомкнутого шлейфа l ₁= 0,327×60 = 19,6 см.

Сравнивая обе схемы (см. рис. 2.7) и порядок их расчета, нетрудно убедиться практически в полной их идентичности. В примере 2.2 длина шлейфа оказалась на четверть волны больше, что соответствует полуобороту по круговой диаграмме и преобразованию разомкнутого на конце шлейфа в короткозамкнутый. Поэтому длина короткозамкнутого шлейфа оказалась меньше, чем разомкнутого. При проектирова­нии согласующих схем обычно выбирают тот вариант, где шлейф короче, т. е. в рас­сматриваемом примере – схему с короткозамкнутым шлейфом. Объясняется это тем, что при использовании более коротких отрезков линии уровень рассогласования из-за небольших отклонений рабочей частоты от заданного значения оказывается меньше. Однако окончательный выбор того или иного шлейфа может быть сделан лишь с учетом многих факторов, в частности их реализуемости. Например, если спроектированные в примерах 2.1 и 2.2 схемы предназначены для микрополоскового исполнения, то короткозамкнутый шлейф менее удобен, поскольку в микрополосковой линии весьма трудно практически выполнить режим короткого замыкания. С другой стороны, режим холостого хода, хотя и не идеальный, реализуется в такой линии достаточно просто. Поэтому в микрополосковом исполнении схема с разомк­нутым шлейфом более предпочтительна. Тем не менее проектировщик все же бывает вынужден использовать схему с короткозамкнутым шлейфом, например, из-за огра­ничений, связанных с размерами подложки микрополосковой линии, или из-за недо­пустимо больших потерь в сравнительно длинном разомкнутом на конце шлейфе. Следовательно, при практической реализации нужно учитывать все достоинства и недостатки каждого из вариантов согласующей схемы. Рассмотрим, как сказывается изменение частоты на согласовании в схеме с корот­козамкнутым шлейфом (см. пример 2.1).

Пример 2.3. Рассчитать с помощью круговой диаграммы рассогласование, возникающее в спроектиро­ванной в примере 2.1 согласующей схеме при уменьшении частоты на 10 % от заданного значения.

Решение

1. Воспроизведем на круговой диаграмме (прил. 3) построение для примера 2.1.

2. Уменьшение частоты на 10 %от заданного значения ведет к увеличению длины волны, т. к. λ ± ∆λ = ν _ф /(f + ∆ f).

Предположим, что фазовая скорость не зависит от частоты, т. е. линия обладает нулевой дисперсией. Поэтому при понижении частоты (увеличении длины волны) электрическая длина отрезка линии фиксирован­ной длины уменьшается. На частоте f = 500 МГц, как было найдено в примере 2.1, l = 0,137 = = 8,22 см; l ₁= 0,77λ = 4,62 см. Тогда на частоте f = 450 МГц l ₁ = = (0,137 - 0,1·0,137)λ = 0,123λ; l = (0,077 - 0,1·0,077)λ = 0,0693λ.

3. Определяем входную нормированную проводимость отрезка линии длиной l (см. рис. 2.7), для чего сместимся по внешней шкале диаграммы от точки С в направлении генератора на расстояние l ₁(прил. 3); прямая, проведенная из центра через конец отложенной дуги, пересечет окружность постоянного K _{ст U}, проходящую через точку В в точку I, которой соответствует проводимость (0,75 + j 1,6).

4. Определяем входную нормированную проводимость шлейфа, для чего смещаемся по внешней шкале диаграммы от точки F в направлении генератора на расстояние l. Прямая из центра, проходящая через конец отложенной дуги, пересечет окружность постоянного K _{ст U} = ∞ в точке Н, которой соответствует нормиро­ванная проводимость - j 2,15.

5.Полная нормированная проводимость в точке подключения шлейфа (см. рис. 2.7, а):

0,75 + j 1,6 - j 2,15 = 0,75 - j 0,55,

что соответствует точке J на диаграмме. Абсолютная проводимость, мСм, в этой точке: (15 - j 11).

6. Через точку J проводим окружность постоянного K _{ст U} и отсчитываем значение K _{ст U} = 2,0 (точка К на верхней шкале под диаграммой).

Введение согласующей схемы позволило на заданной частоте снизить K _{ст U} в линии с 6 до 1. Однако понижение частоты на 10 % привело к увеличению K _{ст U} до 2,0 и к уменьшению на 11 % мощности, поступаю­щей из линии в нагрузку, по сравнению с значением мощности на центральной частоте.

Если выполнить расчет в примере 2.3, полагая, что в схеме используется разомк­нутый шлейф, рассмотренный в примере 2.2, то в п. 4 точке Н будет соответствовать значение входной нормированной проводимости шлейфа - j 3,5; в п.5 J – нормированная проводимость (0,75 - j 1,9). Поэтому согласно п. 6 K _{ст U} в линии станет равным 7, т. е. лишь 44 %мощности падающей волны поступит в нагрузку. Следовательно, понижение частоты на 10 % в данном случае привело к тому, что согласующая схема вызвала большее рассогласование по сравнению с рассогласованием в линии без согласующей схемы (в последнем случае в линии K _{ст U} = 6).

На практике изготовленные в соответствии с расчетом схемы согласования, как правило, требуют из-за различных погрешностей экспериментальной доводки для получения заданных характеристик. В частности, такая настройка рассчитанных схем практически всегда необходима из-за сложности точного определения длины отрезка линии между нагрузкой и местом подключения шлейфа.