Проектирование ФНЧ на сосредоточенных элементах

 

Проектирование фильтрующих цепей на основе линий передачи, как правило, начинают с рассмотрения фильтра, состоящего из сосредоточенных пассивных элемен­тов. Выбранный соответствующим образом фильтр на сосредоточенных элементах обычно синтезируется с помощью таблиц. Электрические характеристики такого фильтра на сосредоточенных элементах, значение которых определены по таблицам, примерно совпадают с заданными при синтезе.

Далее по найденным значениям сосредоточенных элементов определяют­ся значения элементов с распределенными параметрами. Необходимые для этого преобразования рассмотрим ниже. В данном разделе основное внимание уделено простым вычислительным программам, освобождающим разработчика от обращения к таблицам.

Рассматриваются фильтры нижних частот (ФНЧ) с двумя различными частотными характеристиками. Будет показано, как синтезированный прототип фильтра нижних частот с помощью несложных преобразований превратить в прототип фильтра верх­них частот или полосового фильтра.

Фильтр нижних частот представляет собой частотно-избиратель­ную цепь с полосой пропускания от нулевой частоты до некоторой частоты среза ω_cp. Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) идеального ФНЧ (рис. 3.1, а), реализовать на практике невозможно из-за бесконечно большой крутизны характеристики на частоте ω_cp, но приблизиться к которой можно различными способами. Один из них заключается в аппроксимации АЧХ передаточ­ной функцией, впервые предложенной Баттервортом [1] и описывающей зависимость коэффициента передачи от частоты:

, n =1,2,3,... (3.1)

Фильтры с частотной характеристикой, соответствующей (3.1), получили название фильтров с характерис­тикой Баттерворта, или с максимально плоской характеристикой, поскольку на частотах, много меньших частоты среза, коэффициент передачи таких фильтров прак­тически не зависит от частоты.

Другой хорошо известный способ ап­проксимации состоит в описании АЧХ фильтра следующей передаточной функцией:

, n =1,2,3,…, (3.2)

где ε – константа; С_n (ω) – полиномы Чебышева первого рода порядка n, описы­ваемые выражениями

(3.3)

Из 3.3 следует

С ₀(ω)= 1, C ₁(ω)=ω.

 

Рис. 3.1. Идеальная (а), максимально плоская (б), Чебышевская (в) АЧХ фильтра нижних частот

 

Полином Чебышева вычисляют обычно не по формуле (3.3), а с помощью рекур­рентного соотношения, для записи которо­го удобно ввести обозначение θ= ar cos ω при 0 ≤ ω ≤ 1.

Тогда

С_n (ω) = cos (n θ),

C_{n +1}(ω) = cos[(n + l)θ] = cos(n θ)cosθ - sin(n θ) sinθ,

C_{n 1}(ω)) = cos[(n - 1)θ] = cos(n θ)cosθ + sin(n θ) sinθ.

Складывая два последних равенства, получаем искомое рекуррентное соотношение

С_{n +1} (ω) + C_{n 1}(ω) = 2cos(n θ)cosθ = 2ω С_n (ω),

откуда следует

С ₂(ω) = 2ω C ₁(ω) - С ₀(ω) = 2ω² - 1.

Именно так составлена таблица полиномов Чебышева первого рода (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Полиномы Чебышева 1-го рода

Порядок n	Полином Cn (w)
	w
	2w2 - 1
	4w3 - 3w
	8w4 - 8w2+1
	16w5 - 20w3+5w
	32w6 - 48w4+18w2-1

 

В полосе пропускания характеристика типичной чебышевской АЧХ фильтра нижних частот (см. рис. 3.1, в) носит осциллирующий характер с неизменной амплитудой осцилляции. Поэтому такие фильтры иногда называют фильтрами с постоянной амплитудой осцилляции. Амплитуда осцилляции в полосе пропускания связана с крутизной характеристики на частотах выше ω_ср: если при неизменном числе звеньев фильтра увеличивать крутизну характеристики в полосе заграждения, то одновременно возрастает амплитуда осцилляции. Лишь изменяя число звеньев в фильтре, можно изменять крутизну характеристики при неизменной амплитуде осцилляции. По сравнению с фильтрами нижних частот Баттерворта аналогичные чебышевские фильтры имеют явное преимущество в полосе заграждения: при одинаковом числе реактивных элементов последние позволяют получить большую крутиз­ну характеристики, чем первые.

Увеличение числа реактивных элементов приводит к увеличению нелинейности фазочастотных характеристик (ФЧХ) фильтров этих типов. По сравнению с ФЧХ соответствующего чебышевского фильтра ФЧХ фильтра Баттерворта обладает большей линейностью. В случае, когда начинают доминировать требования к линейности фазовой характеристики проектируемого фильтра, преимущества чебышевского фильтра могут оказаться не столь существенными из-за недопустимой нелинейности его ФЧХ. Если линейность ФЧХ фильтра - главное требование, то предпочтение отдают фильтрам Бесселя, имеющим весьма линейную ФЧХ в полосе пропускания по сравнению с фильтрами Баттерворта и Чебышева, но гораздо худшую АЧХ. Фильтры Бесселя используются в фазовращателях и схемах, где требуется обеспечить заданную временную задержку проходящего сигнала [1]. Мы не рассматриваем проектирование фильтров Бесселя. Однако методика расчета фильтров Чебышева и Баттерворта может быть распространена и на эти фильтры.

Логарифмируя (3.1) и (3.2), получаем формулы для расчета вносимого фильтром затухания, выраженного в децибелах. Для фильтра с максимально плоской характеристикой:

. (3.4)

Для фильтра с чебышевской характеристикой:

, (3.5)

т. е. при 0 ≤ ω ≤ ω_cp:

,

а при ω > ω_cp:

,

ε = 10 ^{(ампл. осц. в дБ)/10} -1.

В этих выражениях все частоты нормированы к частоте среза ω_cp.

Обычно при синтезе необходимо по заданному значению затухания L (ω) на опреде­ленной частоте ω_cp в полосе заграждения определять число звеньев в фильтре. Для решения этой задачи выразим n из (3.4) и (3.5) в явном виде:

для фильтра Баттерворта:

; (3.6)

для фильтра Чебышева:

, (3.7)

где G_r – амплитуда осцилляции в полосе пропускания, дБ. При вычислениях по (3.7) удобно использовать тождество

.

 

Рис. 3.2. Затухание, вносимое чебышевским фильтром при амплитуде осцилляции 2 дБ

Фильтр, как правило, располагается между генератором с известным внутренним сопротивлением и заданной нагрузкой (рис. 3.3), причем в большинстве случаев можно считать внутреннее сопротивление генератора и сопротивление нагрузки чисто активными. Такое представление весьма удобно, поскольку во многих рабо­тах, посвященных анализу и синтезу электрических цепей, схемы именно такого типа рассмотрены наиболее подробно (рис. 3.4). В схеме одного из подобных фильтров, где использованы общепринятые обозначения, параметры g связаны с корнями передаточной функции и n -звенного фильтра. При синтезе фильтра с заданной АЧХ параметры его элементов вычисляются через значения g.

Фильтр состоит из нескольких Т-образных цепей, образованных индуктивностями и емкостями. Можно построить аналогичную схему, дуальную к первой, состоящую из П-образных цепей, причем в этом случае g ₁ будет емкостью параллельно включен­ного конденсатора, a g ₂ – индуктивностью в последовательной цепи. Если g ₁ и g_n – емкости, то g ₀ и g_{n +1} – соответственно активные сопротивления генератора и нагруз­ки, если же g ₁ и g_n – индуктивности, то g ₀ и g_{n +1} – активные проводимости генера­тора и нагрузки. Существуют простые формулы для расчета g -параметров при синтезе фильтра на сосредоточенных элементах [2]. Хотя формулы достаточно просты, их исполь­зование трудоемко. Поэтому в большинстве случаев разработчи­ки, игнорируя эти формулы, пользуются таблицами, составленными по результатам численных расчетов.

Для фильтра Баттерворта g -параметры определяются по следующим формулам:

ω_cp = 1, g ₀ = g_{n +1} =1,

, k =1,2,3,… n,

где аргумент синуса выражен в радианах.

Значения g распределены симметрично относительно середины фильтра, что выполняется как при четных, так и при нечетных значениях n. Поэтому включение такого фильтра между равными сопротивлениями не приведет к рассогласованию.

Рис. 3.3. Представление фильтра в виде четырехполюсника

 

Рис. 3.4. Фильтр нижних частот, нагруженный с обеих сторон

 

Для чебышевского фильтра, имеющего амплитуду осцилляции G_r, дБ, в полосе пропускания, g -параметры вычисляются по следующим формулам:

ω_cp = 1, g ₀ = 1; ω_cp = 1, g ₁ =2 a ₁/ψ;

; k = 2,3,… n;

где ; ;

; .

При нечетном n значение g распределено симметрично относительно середины фильтра, тогда как при четном n симметрия нарушается. Эта особенность фильтра может оказаться полезной, когда необходимо согласовывать неравные сопротивле­ния.

Пример 3.1. Рассчитать трехзвенный ФНЧ с максимально плоской характеристикой, подключенный к генератору с внутренним сопротивлением 50 Ом и нагруженный на 50-омное сопротивление. Частота среза фильтра 10 МГц.

Решение

Начнем с расчета параметров фильтра с характеристикой Баттерворта, нормированных к 50 Ом и при ω_ср = 1, т. е. g - параметров:

n = 3, g ₀= 1, g ₄=1;

; ;

.

Теперь необходимо перейти к ненормированным значениям. Пусть эквивалентная схема фильтра имеет вид, показанный на рис. 3.5. Конкретные значения элементов в схеме фильтра рассчитываем через g -параметры, учитывая, что ω_ср = = 2p×10⁷ рад/с и R _н = 50 Ом:

R ₀ = R _н g ₀ = 50·1 = 50 Ом; С ₁ = g ₁/(R _н ω_ср) = 318 пФ;

L ₁ = g ₁ R _н / ω_ср = 1590 нГн; С ₂ = g ₃ / (R _н ω_ср) = 318 пФ.

Обратите внимание на порядок расчета значений элементов схемы с помощью g -параметров и на то, что значения элементов схемы симметричны относительно индуктивности фильтра.

Сформулируем правила, с помощью которых проводится пересчет нормированных значений параметров (g -параметров) в конкретные значения элементов фильтра:

1) пересчет при заданной частоте среза Рис. 3.5. Схема фильтра к примеру 3.1

заключается в делении

каждого нормиро­ванного значения g, относящегося к конденсатору или индуктивности, на заданную ненормированную угловую частоту среза, рад/с; активные сопротивления в данной операции не участвуют;

2) пересчет по заданному значению сопротивления нагрузки R _н заключается в умножении всех g, относящихся к активным сопротивлениям и индуктивностям, на R _н и делении всех g, относящихся к емкостям, на R _н.