Проектирование ФВЧ на сосредоточенных элементах

 

Результаты расчета нормированных параметров (g -параметров) фильтра-прототипа нижних частот можно использовать для получения соответствующих значений эле­ментов фильтра верхних частот (ФВЧ).

Начнем с частотного преобразования, переводящего частотную характеристику фильтра-прототипа нижних частот в соответствующую характеристику фильтра верхних частот.

 

 

Рис. 3.6. Частотное преобразование, переводящее характеристику фильтра нижних частот в характеристику фильтра верхних частот

 

Как видно на рис. 3.6, при преобразова­нии идеализированных характеристик необходимо выполнить два условия:

1) частота ω¹ = 0 должна перейти в частоту ω = ∞;

2) частота ω¹ = 1 должна перейти в ω = ω_cp.

В математической форме такое преобразование имеет вид

ω¹= -ω_cp/ω.

Отметим, что форма АЧХ при указанном преобразовании не меняется.

Чтобы реализовать ФВЧ, воспользуемся схемой фильтра-прототипа нижних частот (см. рис. 3.5), где заменим индуктивные элементы на емкостные, а емкостные – на индуктивные.

Так, нормированная индуктивность g_ФHЧ преобразуется в нормированную емкость:

С _ФBЧ = 1/(ω_cp g _ФHЧ),

а нормированная емкость g _ФHЧ преобразуется в нормированную индуктивность:

L _ФBЧ = 1/ (ω_cp g _ФHЧ).

Значения активных сопротивлений не изменяются при указанном преобразовании. Поэтому для завершения расчета ФВЧ следует полученные значения параметров пересчитать с учетом заданного значения R _н; для этого все индуктивности и актив­ные сопротивления умножаются на R_р, а все емкости делятся на R _н (см. пример 3.1).

 

Переход от фильтра прототипа нижних частот

К полосовому фильтру

 

Переход от ФНЧ к полосовому фильтру (ПФ) основан на преобразовании идеализи­рованных АЧХ (рис. 3.7). В данном случае необходимо выполнить следующие преобразования: частота ω¹ = 1 должна перейти в частоту ω_в, частота ω¹ = 0 – в частоту ω₀, частота ω¹ = -1 – в частоту ω_н.

Требуемое преобразование описывается равенством

.

Центральная частота ПФ находится как среднее геометрическое значений ω_в и ω_н:

.

Отметим, что нагруженная добротность ПФ, граничные частоты ω_в и ω_н полосы пропускания которого определяются по уровню 3 дБ, рассчитывается по простой формуле

.

Рис. 3.7. Частотное преобразование, переводящее характеристику фильтра нижних частот (а) в характеристику полосового фильтра с шириной полосы пропускания ω_в – ω_н (б)

 

Формулы, применяемые при частотном преобразовании, приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Преобразования элементов фильтров

Амплитуда и фаза сигнала на входе и выходе фильтра различны. Изменение амплитуды обсуждалось ранее. Сигнал на выходе фильтра запаздывает по фазе, пос­кольку для его прохождения через фильтр необходимо определенное конечное время. Поэтому влияние фильтра на фазу проходящего сигнала можно оценивать как временем зaдepжки, так и вносимым фазовым сдвигом. В монографии Вайнберга [1] предложена методика расчета времени задержки и фазового сдвига сигналов, прохо­дящих через n -звенные фильтры с максимально плоской и чебышевской характерис­тиками.