Действия над векторами

ЛИСТ 0 9 КЛАСС

Проекция вектора на ось

 

Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

a_x=a×cosa.

Определение вектора по его проекциям:

где a - угол между вектором и осью x.

Геометрический смысл проекции вектора на ось: проекция вектора на ось равна разности координат конца и начала вектора:

а_х=х₂-х₁

а_у=у₂-у₁

 

Таблица часто применяемых косинусов.

cos 0⁰ = 1

cos30⁰ = 0,866

cos45⁰ = 0,7

cos60⁰ = 0,5

cos90⁰ = 0

cos180⁰=-1

cos(90⁰-a) = sin a

cos(90⁰+a) =-sin a

cos(180⁰-a)=-cos a

 

Действия над векторами.

Чтобы найти сумму нескольких векто­ров, надо параллельным переносом этих векторов совме­стить начало каждого последующего вектора, начиная со второго, с концом предыдущего вектора, тогда вектор, который выходит из начала первого вектора и приходит в конец последнего, является вектором суммы. Следовательно, чтобы найти сумму двух векторов а и b надо параллельным переносом вектора b совместить его начало с концом вектора а, тогда вектор суммы с будет выходить из начала вектора а и приходить в конец вектора b. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Из правила треугольника непосредственно вытекает другое правило нахождения суммы векторов - правило параллелограмма.

Чтобы найти сумму двух векторов, надо параллель­ным переносом совместитьих начала и на этих векторах, как на сторонах, построить параллелограмм. Диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векто­ров, будет являться вектором суммы.

Пример. Даны векторы а,b,с,d. Найти сумму этих векторов - вектор Т.

Согласно данному выше определению параллельным переносом векторов совместим начало каждого последу­ющего вектора, начиная со второго с концом предыдущего.

 

 

Искомый вектор Т будет выходить из начала первого вектора а и приходить в конец последнего вектора d.

Действие вычитания векторов обратно действию сложения. Если даны два вектора с и а, то разностью (с - а) называется такой вектор b, который с вектором а в сумме составляет вектор с. Для построения вектора разности b =(с - а) надо вектора с и а свести началами в одну точку, тогда вектор b соединит концы этих векторов и будет направлен в сторону уменьшаемого

(с).

 

1. Модуль вектора равен 14,14 угол между вектором и осью ОХ равен 45⁰. Вектор имеет проекции b_x= - 10, b_y= -6. Начало вектора имеет координаты (-1, 2), конец – (2,-1). Найти вектор (модуль и направление)

.

Задачу решить аналитически и графически.

2. Для векторов, показанных на рисунке, найти их модули и проекции на оси. Построить и найти аналитически (модуль и угол) вектор

 

Домашнее задание:

1.1. Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны а, если модуль их суммы равен: а) 0; б) ; в) ; г) ? Сделайте соответствующее построение.

[ Угол между векторами равен: а) ; б) ; в) ; г) ]

1.3. Модули векторов и равны соответственно см, см. Угол между векторами и равен . Постройте вектор , определите его модуль и тангенс угла между векторами и .

[ см; ]

1.4. Модули векторов и равны соответственно см, см. Угол между векторами и равен . Постройте вектор , определите его модуль и синус угла между векторами и .

[ см; ]

1.5. º К материальной точке приложены три силы по 20 Н каждая. Углы между первой и второй силами и между второй и третьей силами одинаковы и равны . Постройте равнодействующую этих сил и определите ее модуль.

[ 40 Н ]

1.6. º На парашютиста массой 90 кг в начале прыжка действует сила сопротивления воздуха, проекции которой на оси координат и равны соответственно 300 Н и 500 Н. Ось направлена вертикально вверх, ось – горизонтально. Определите равнодействующую всех сил, выполните соответствующие построения.

[ 500 Н ]

1.7. º Может ли равнодействующая двух сил величиной 30 Н и 40 Н, приложенных в одной точке, быть равной 10 Н? 50 Н? 70 Н? 80 Н? Ответ поясните соответствующими построениями.

1.8. º На координатной плоскости графически заданы векторы и (см. рис.). Найдите длины векторов и .

[ ; ]