III. Порядок проведения экспериментальных измерений

I. Цель работы

1. Наблюдения над колебательными движениями физического маятника, реализуемые на приборе, схема которого представлена на рисунке 1.

2. Измерение периода колебаний физического маятника при различных длинах и амплитудах.

3. Вычисление ускорения свободного падения по результатам измерений на физическом маятнике.

II. Теоретическая часть

Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка пересечения ее А с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (рис. 1). Кинетическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением

где I — момент инерции маятника относительно оси А.

Потенциальная энергия равна E_пот = mgh, где h — высота поднятия центра масс С над его самым нижним положением. Обозначим а расстояние между центром масс С и точкой подвеса А. Тогда

Е _пот = mga (1 - cosφ).

Исходя из закона сохранения энергии

Е _полн = Е _кин + Е _пот = Const

получим,

Δ Е _кин + Δ Е _пот = 0 (1)

где Δ означает изменение энергии при переходе из одного состояния в другое (Δ Е _кин = (Е _кин)₁-(Е _кин)₀ и Δ Е _пот = (Е _пот)₁-(Е _пот)₀).

В этом случае при переходе из начального состояния, когда маятник зафиксирован в отклонённом на угол φ₀ состоянии в конечное с произвольным углом отклонения φ, уравнение (1) будет иметь вид:

= mga (1 – cosφ₀) – mga (1 – cosφ) = mga (cosφ – cosφ₀)

где φ – угол отклонения маятника из положения равновесия, а φ₀ – максимальное его значение (угловая амплитуда колебаний).

Оставив в правой части уравнения производную, получим следующее уравнение:

= 2 (mga/I) (cosφ - cosφ₀)

Если ввести обозначение

l = I/ma (2)

(позднее мы скажем с чем это связано), то уравнение примет вид:

= 2 (g/l) (cosφ - cosφ₀)

которое можно преобразовать к следующему виду (использовать выражение cosφ=1 - 2sin²(φ/2))

= 4 (g/l) (sin²(φ₀/2)- sin²(φ/2)) (3)

Взяв корень квадратный из обеих частей уравнения и разрешив его относительно dt и интегрируя по φ, найдем период колебаний маятника Т как учетверённое время прохождения интервала углов от φ = 0 до φ = φ₀. При интегрировании удобно ввести новую переменную интегрирования sin и = sin(φ/2)/sin(φ₀/2). В результате получим

где введено обозначение k = sin (φ₀/2). Входящий сюда интеграл не берется в элементарных функциях. Он называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Его можно представить в виде бесконечного ряда. Так как | k sin и | << 1, то подынтегральное выражение можно разложить в ряд по формуле бинома Ньютона:

Этот ряд равномерно сходится, а потому его можно интегрировать почленно. Сделав это, получим

(4)

При малых амплитудах φ₀ эта формула переходит в формулу

(5)

для математического маятника длины l. Формула (2) определяет приведенную длину, т.е. длину такого математического маятника период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.

Если период колебаний физического маятника не зависит от амплитуды колебаний, то такие колебания называются изохронными.

В данной работе используется установка, изображённая на рис.2.

Рис.2. Прибор для изучения колебаний физического маятника:

1. Угломерная пластина для установления угла отклонения маятника;

2. Подвижная платформа;

3. Измерительная линейка;

4. Физический маятник.

В качестве физического маятника используется однородный цилиндрический стержень длины (рис.3). На стержне закреплена опорная призма, острое ребро которой является осью качания маятника. Призму можно перемещать вдоль стержня, меняя, таким образом, расстояние от точки опоры маятника до его центра масс (рис.3)

Рис. 3. Условная схема маятника

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции маятника I:

, (6)

где - масса стержня. С учетом выражения (6) формула (5) для периода колебаний примет вид

или

, (7)

где , .

В соответствии с формулой (2) приведенная длина маятника:

. (8)

В ходе лабораторной работы изучается колебательное движение физического маятника и, в частности, проводиться экспериментальная проверка теоретических соотношений (7) и (8). Для экспериментальной проверки зависимости периода от величины , следует измерить периоды колебаний маятника при разных положениях опорной призмы. Результаты измерений удобно представить графиком зависимости , где , а . В соответствии с формулой (7) эта зависимость имеет вид

. (9)

График этой функции представлен на рис.4. Нетрудно показать, что функция (9) имеет минимум при

Рис.4

III. Порядок проведения экспериментальных измерений

Проведение эксперимента начинается с измерения периода колебаний физического маятника. Для этого отведём маятник из положения равновесия на угол φ ₀ (например: φ ₀=10⁰, величину угла отклонения можно проконтролировать по показаниям угломерной пластинки см.рис.3) и отпустим его. Маятник начнёт совершать свободные колебания. Засечём время Т_сум за которое маятник совершит порядка 10 колебаний. Затем вычислим время одного колебания (или период) Т= Т_сум/10. Результаты измерения времени Т и расстояние а между точкой подвеса маятника и его центром тяжести занесём в таблицу с результатами измерений.

Проведём 4 серии испытаний с измерениями периода колебаний для углов φ ₀= 10⁰; φ ₀= 15⁰; φ ₀= 20⁰ при для различных расстояниях а (0,10 м, 0,20 м, 0,30 м, 0,40 м) между точкой подвеса маятника и его центра тяжести. При этом следует понимать, что центр тяжести физического маятника (тонкого стержня) находится в середине стержня.

В результате проделанных измерений получаем следующие три таблицы с опытными данными:

Таблица 1.

φ₀ = 10
n номер измерения	Серия 1	Серия 2	Серия 3	Серия 4
	а=0,10м	а=0,20м	а=0,30м	а=0,40м
	T,сек	Т,сек	Т,сек	Т,сек
	1,93	1,56	1,49	1,55
	1,81	1,48	1,5	1,54
	1,85	1,53	1,51	1,5
	1,91	1,49	1,47	1,52
	1,87	1,5	1,52	1,53

Таблица 2.

φ₀ = 15
n номер измерения	Серия 1	Серия 2	Серия 3	Серия 4
	а=0,10м	а=0,20м	а=0,30м	а=0,40м
T,сек	Т,сек	Т,сек	Т,сек
	1,82	1,52	1,44	1,48
	1,91	1,53	1,48	1,56
	1,86	1,55	1,46	1,53
	1,83	1,5	1,45	1,52
	1,9	1,53	1,5	1,49

Таблица 3.

φ₀ = 20
n номер измерения	Серия 1	Серия 2	Серия 3	Серия 4
	а=0,10м	а=0,20м	а=0,30м	а=0,40м
T,сек	Т,сек	Т,сек	Т,сек
	1,89	1,55	1,55	1,55
	1,88	1,49	1,48	1,48
	1,87	1,54	1,45	1,45
	1,9	1,51	1,52	1,52
	1,91	1,53	1,5	1,5

По многократно измеренным значениям T для выбранного угла φ ₀вычисляются их средние арифметические по формулам:

, (10)

где n – число измерений.

По вычисленным значениям (формула 8) и соответствующим измеренным значениям Т строим зависимость Т² = F(l). Зависимость строим методом наименьших квадратов (выбирая для интерполяции) линейную функцию и подбирая соответствующее К для формулы Т² = К× l. Получим три различных значения g = 4π²/К, а затем найдем среднее.

Проверка зависимости относительного периода колебаний физического маятника Т/Т₀ от положения опорной призмы относительно центра тяжести (рис. 3): , где , период колебаний математического маятника с длиной равной приведенной длине физического маятника .

Для этого необходимо использовать измерения периода при φ ₀= 10⁰, 15⁰, 20⁰ приведенные в таблицах 1-3. Проверить совпадает ли полученная зависимость с функцией (9).