Лекция 1 Математическая модель. Экзогенные и эндогенные переменные, параметры

Математическая модель экономического объекта – это его отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Изучение моделей дает новые знания об объекте, либо позволяет определить наилучшие решения.

Для решения поставленной задачи нужно построить математическую модель, наполнить ее информацией, а затем провести расчеты. Вначале при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные переменные и параметры. Экзогенные переменные – те, которые задаются вне модели, т.е. известны заранее, и параметры – это коэффициенты уравнений модели. Например, экзогенные переменные – количество оборудования K, рабочей силы L и сырья R; параметры – коэффициенты их расхода на единицу i -й продукции k_i, l_i и r_i соответственно, цены продуктов p_i.

Вводятся обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне. Например, неизвестные объемы производства продукции каждого i -го вида x_i.

Закончив описание переменных и параметров, переходят к формализации условий задачи, к описанию ее допустимого множества и целевой функции (если таковая имеется). Если модель является оптимизационной, то наряду с ограничениями должна быть выписана целевая функция, т.е. максимизируемая или минимизируемая величина, отражающая интересы принимающего решение субъекта.

Основные типы моделей Математические модели, используемые в экономике, можно подразделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических элементов и форм их взаимодействия на рынке, микроэкономическое моделирование занимает основную часть экономико-математической теории. Наиболее серьезные теоретические результаты в микроэкономическом моделировании в последние годы получены в исследовании стратегического поведения фирм в условиях олигополии с использованием аппарата теории игр.

Теоретические модели позволяют изучить общие свойства экономики и ее характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок. Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений. К прикладным относятся прежде всего экономические модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и позволяющие статически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюдений.

В моделировании рыночной экономики особое место занимают равновесные модели. Они описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. В нерыночной экономике неравновесие по одним параметрам (например, дефицит) компенсируется другим факторами (черный рынок, очереди и т.п.). Равновесные модели описательны. Оптимизация в теории рыночной экономики присутствует в основном на микроуровне (максимизация полезности потребителем или прибыли фирмой); на макроуровне результатом рационального выбора поведения экономическими субъектами оказывается некоторое состояние равновесия.

В моделях статических описывает состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. В статистических моделях обычно зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, - например, капитальных ресурсов, цен и т.п. Динамическая модель не сводиться к простой сумме ряда статистических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

Детерминированные модели предполагают жестокие функциональные связи между переменными модели. Стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики для их описания.

Цель моделирования – возможность анализа свойств и решений математических моделей экономических процессов. В некоторых случаях модели могут рассматриваться как часть математической теории на стыке с социально-экономическими науками. В основном исследуются теоретические модели, основанные на определенных формальных предпосылках (линейность, выпуклость, монотонность и т.п.), зависимости и конкретные формы взаимосвязи величин. Вообще говоря, не фиксируется степень обоснованности того, что данная зависимость имеет тот или иной вид (например, величина потребления является линейной возрастающей функцией дохода), - это оставляется для эконометрики. Одной из основных задач является изучение вопроса о существовании решения модели, условиях его неотрицательности. Это обычно осуществляется путем математических действий получения следствий из сделанных предпосылок.

Среди моделей можно выделить два крупных класса – модели равновесия в экономических системах и модели экономического роста. Экономическая динамика описывается с помощью моделей роста. Ключевым моментом исследования моделей роста является анализ и отыскание траекторий стационарного роста (роста с постоянными структурными характеристиками),