Тема 14. Элементы квантовой физики твердого тела

3.Основная задача статистической физики в квантовых статистиках состоит в нахождении функции распределения частиц системы по тем или другим параметрам- координатам, импульсам, энергиям и т.п., а также отыскании средних значений этих параметров, характеризующих макроскопическое состояние всей системы частиц. Для систем фермионов и бозонов эти задачи решаются единообразно, но несколько различно в связи с тем, что бозоны не подчиняются принципу Паули. В соответствии с этим различаются две квантовые статистики: Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

4. Для описания состояния системы частиц вводится пространство шести измерений- фазовое пространство, называемое также m- пространством: x,y,z, p_x, p_y, p_z. Состояние частицы (ее координаты и импульс) изображаются точкой в m- пространстве. Состояние системы определяется тем, как распределены в m- пространстве изображающие точки всех частиц системы. При этом нужно учесть корпускулярно-волновую двойственность свойств частиц. Согласно соотношениям неопределенностей Гейзенберга естественно считать, что данному состоянию частицы в m- пространстве соответствует не точка, а ячейка фазового объема(m-пространства) размером . Элементарный объем не может быть меньше h³. При размещении частиц (их изображающих точек) по ячейкам с объемом h³ ставится вопрос о наиболее вероятном распределении частиц системы по ячейкам. Состояние системы тождественных частиц не изменяется от перестановки частиц как внутри данной ячейки, так и между ячейками. Для системы фермионов при этом должен быть учтен принцип Паули.

5.Для системы, состоящей из n невзаимодействующих тождественных фермионов, например электронов, со спином (такая система называется идеальным Ферми-газом) справедлива функция распределения Ферми-Дирака (функция заполнения ячеек), или средняя заселенность фермионами состояний с данной энергией E_i:

, (13.1)

где m - химический потенциал (представляет собой изменение энергии системы, приходящееся на одну частицу при изохорно-изоэнтропийном процессе), k- постоянная Больцмана, T- термодинамическая температура, n_i - число частиц с энергией E_i в g_i – ячейках объемом .

6.Для системы из n невзаимодействующих бозонов с энергией E (идеальный Бозе-газ), спин которых равен нулю или целому числу , и они не подчиняются принципу Паули, в одной ячейке может находиться произвольное число частиц. Заполнение ячеек бозонами состояний с данной энергией дает функция распределения Бозе-Эйнштейна:

(13.2)

7. Элементы квантовой теории металлов.

Электроны в отдельном атоме не могут иметь любую энергию. Они имеют квантованные, дискретные значения энергии. Говорят, что электроны в атоме находятся на определенных дискретных энергетических уровнях. Квантованной величиной является также импульс электрона.

И, наконец, электроны подчиняются принципу Паули, который вносит ограничения в возможное распределение электронов по энергетическим состояниям. Принцип Паули гласит: в любом атоме не может быть двух или большего числа электронов, находящихся в одинаковых стационарных состояниях, т.е. характеризующихся одинаковой четверкой квантовых чисел n, l, m, m_s. Все перечисленные характерные свойства электронов были учтены Ферми и Дираком при разработке квантовой статистики электронов в металле (1926г.). Основной задачей квантовой теории металлов является выяснение закономерностей в распределении свободных электронов по энергиям. Это распределение и было получено методом квантовой статистики Ферми-Дирака (13.1).

Если не учитывать влияние электрического поля положительных ионов кристаллической решетки на движение свободных электронов в металле, то это движение можно описывать с помощью модели потенциального ящика с плоским дном. Если считать, что вне металла потенциальная энергия равна

 

А

 

Рис.13.1

 

нулю, то внутри металла она равна – А, где А – положительная работа выхода электрона из металла. Т.е. свободные электроны металла находятся внутри потенциального ящика с вертикальными стенками конечной глубины.

В квантовой механике показывается, что электроны в металле, как и в отдельном атоме, могут находиться лишь на определенных энергетических уровнях, т.е. электроны в таком потенциальном ящике имеют квантованные дискретные значения энергии. При этом в отдельном атоме разность энергий электронов на двух соседних уровнях значительно больше, чем в кристаллах. Очевидно, что все электроны стремятся занять наиболее низкие энергетические уровни, как самые устойчивые. Но электроны подчиняются принципу Паули, а он накладывает ограничение на число электронов, которые могут находиться в данном состоянии. В соответствии с принципом Паули на одном энергетическом уровне не может находиться более двух электронов. Эти электроны отличаются спинами: их спины антипараллельны. Спин- это собственный механический момент электрона. Из рисунка 13.1 видно, что работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать от верхнего из занятых электронами энергетических уровней. Этот верхний занятый энергетический уровень играет большую роль в квантовых представлениях о твердом теле. Он называется уровнем Ферми.

В квантовой теории металлов показывается, что заполнение уровней электронами задается функцией Ферми

, (13.3)

которая определяет вероятность заполнения электронами энергетического уровня с энергией Е. Здесь k – постоянная Больцмана, Т – температура. Величина Е_ф называется энергией (или уровнем) Ферми. Рассмотрим функцию Ферми при различных температурах металла. Если , то для Е>E_ф , а для Е<E_ф , т.е. уровни, расположенные выше уровня Ферми, не заняты электронами, а уровни, ниже уровня Ферми, обязательно заняты электронами. Таким образом, Е_ф - это максимальное значение энергии, которое могут иметь электроны в металле при 0К. Иначе говоря, Е_ф – это энергия, соответствующая наивысшему энергетическому уровню, занятому электронами в металле при 0К.

f (E)

T=0 K

 

 

Е_ф

 

0 E

Рис. 13.2.

 

При любых других температурах ), если Е=Е_ф, то f(E)= 1/2; если Е>Е_ф, то f(E)< 1/2; если Е<Е_ф, то f(E)>1/2.

f (E)

 

1

 

1/2

Т~300 K

Е_ф

0 Е_ф

Рис. 13.3

 

Следовательно, при Т>0K уровни, расположенные ниже уровня Ферми, заполнены с большей вероятностью, чем уровни, расположенные выше него. Вычисления дают следующее значение для энергии Ферми:

, (13.4)

где h – постоянная Планка, n – концентрация свободных электронов в металле, m^* - эффективная масса электрона (m^* играет роль массы электрона при его движении в кристалле). Т.е. энергия Ферми зависит от концентрации электронов проводимости в металле. Величина Е_ф составляет в металлах несколько эВ. Можно показать, что средняя энергия электронов проводимости в металле при 0К равна

, (13.5)

а средняя квадратичная скорость движения свободных электронов в металле при абсолютном нуле

(13.6)

Таким образом, и Е_ф, и , и не зависят от температуры металла. Е_ф не является энергией теплового движения электронов. Она имеет чисто квантовую природу и возникает из-за специфических свойств электронов как ферми – частиц, подчиняющихся принципу Паули.

Итак, мы видим, что свойства реального газа в металлах сильно отличаются от свойств классического электронного газа. Электронный газ в металле называется вырожденным. Классический электронный газ называется невырожденным.

 

 

Параметры газа	Невырожденный газ	Вырожденный газ
0 К при Т К
0 К при Т К

 

Для невырожденного газа и являются функциями Т и при Т=0К обращаются в 0. Для вырожденного газа при Т=0К и имеют большую величину и не зависят от Т, т.е. имеют нетермическую природу. При 0К все энергетические уровни в металле заняты электронами вплоть до уровня Ферми в несколько эВ. Энергия же тепловых колебаний решетки ~0,01эВ. Поэтому при повышении температуры металла электронам передается очень маленькая дополнительная энергия, и лишь очень малая часть их сможет перейти на более высокие энергетические уровни, т.е. от Т зависимости практически нет. Это основной признак вырождения газа. Электронный газ в металле остается вырожденным до тех пор, пока любой из электронов не сможет обмениваться энергией с кристаллической решеткой. А это в свою очередь возможно лишь тогда, когда средняя энергия тепловых колебаний решетки kT станет не меньше энергии Е_ф, т.е.

.

Температура , ниже которой газ переходит из невырожденного состояния в вырожденное, называется температурой вырождения или фермиевской температурой. Для металлов , т.е. электронный газ в металлах всегда вырожден. Условие невырожденности газа имеет вид

f(E)<< 1.

Можно показать, что при этом функция Ферми (13.3) переходит в классическую функцию распределения: , т.е. невырожденный электронный газ описывается распределением Максвелла-Больцмана. Невырожденное состояние газа может быть достигнуто не только путем повышения температуры, но и путем уменьшения концентрации свободных электронов n. Так, например, в некоторых полупроводниках, где n ниже, чем у металлов (~10¹⁶ – 10¹⁹м^-3), выполняется условие невырожденности и электронный газ оказывается невырожденным.

С точки зрения квантовой теории можно объяснить все трудности, которые возникали в классической теории.

8. Теплоемкость. С классической точки зрения молярная теплоемкость металла складывается из теплоемкости кристаллической решетки C₁=3R и теплоемкости электронного газа C₂=(3/2)R; т.е. C=4,5R. Но из опытов известно, что молярная теплоемкость металлов ~ 3R (закон Дюлонга-Пти). Т.е. энергия теплового движения электронов проводимости не изменяется при нагревании проводника. Теплоемкость электронного газа чрезвычайно мала по сравнению с теплоемкостью кристаллической ионной решетки. Квантовая теория подтверждает и объясняет этот факт. Причина – в свойствах вырожденного газа. Влияние Т (температуры) на распределение электронов в металле сводится к изменению энергии электронов, расположенных только на энергетических уровнях вблизи уровня Ферми. Большинство же электронов не будет вносить вклад в теплоемкость, поскольку их энергия остается постоянной.

9.Электропроводность. Электрический ток – это упорядоченное движение электронов. Это движение возникает под действием электрического поля, создаваемого в металле источником тока. Чтобы электроны начали упорядоченно двигаться, они должны изменить свою энергию, т.е. «принять» энергию от источника тока. С квантовой точки зрения электрон может принять порцию энергии лишь в том случае, если существуют близкие энергетические уровни, не занятые другими электронами. Тогда, получив энергию, электроны будут переходить на эти свободные уровни и возникнет электрический ток – направленное движение электронов. В создании электрического тока участвуют все электроны проводимости и это не противоречит принципу Паули. Вакантные состояния при действии внешнего электрического поля создаются сразу для всех электронов проводимости т.к. каждый электрон переходя в вакантное состояние, оставленное другим электроном, оставляет после себя тоже вакантное состояние, которое замещается третьим электроном и т.д. Электрическое сопротивление проводника в квантовой теории так же, как в классической теории, объясняется взаимодействием электронов проводимости с кристаллической решеткой.

Расчет величины удельного сопротивления металла () в квантовой теории приводит почти к тому же выражению, что и в классической теории:

; (13.7)

, (13.8)

а удельной проводимости ():

; (13.9)

. (13.10)

Однако эти результаты существенно различаются. В знаменателе вместо средней тепловой скорости электронов стоит средняя скорость теплового движения электронов, находящихся на уровне Ферми , а практически не изменяется при изменении температуры, поэтому существенно не влияет на температурную зависимость сопротивления металлов.

В классической формуле - это длина свободного пробега электрона в металле. В квантовой теории движение электронов сквозь решетку металла рассматривается как распространение электронных волн де Бройля. Характер взаимодействия этих волн с ионами решетки качественно отличен от простого соударения электрона с ионами. Электронные волны рассеиваются на ионах кристаллической решетки. При этом можно показать, что если бы ионы решетки были неподвижны, они бы не рассеивали электронные волны. Подобная решетка не оказывала бы никакого сопротивления для движения электронов, т.е. сопротивление металла было бы равно нулю. Однако хорошо известно, что при любой температуре ионы в узлах решетки совершают колебания. Так вот свободные электроны, движущиеся сквозь решетку металла, рассеиваются именно на тепловых колебаниях ионов решетки. Это и является причиной электрического сопротивления чистых металлов. - это средняя длина пробега электронной волны, т.е. среднее расстояние, которое волна может пройти без рассеяния. непосредственно не связана с периодом решетки и может составлять сотни таких периодов. Другими словами, электрон может свободно проходить в металле большие расстояния. С повышением температуры возрастает рассеяние электронных волн на тепловых колебаниях решетки и происходит уменьшение средней длины свободного пробега электронной волны. В квантовой теории доказано, что при обычных комнатных температурах ~ 1/T. Это приводит к хорошо подтверждающейся на опыте зависимости ~ T. При очень низких температурах ~ 1/T⁵. Поэтому, в согласии с опытами, при сверхнизких температурах в чистых металлах ~ T⁵.

10.Сверхпроводимость. В 1911г. голландский физик Камерлинг-Оннес, измеряя электрическое сопротивление ртути при очень низких температурах обнаружил, что при Т=4,2К сопротивление ртути исчезает. Для некоторых других металлов (их ~ 20- ртуть, свинец, титан и т.д.) тоже характерно явление сверхпроводимости. Переход вещества в сверхпроводящее состояние происходит в очень узком температурном интервале (сотые доли градуса) и поэтому считают, что переход осуществляется при определенной температуре Т_к, которая называется критической.

R

4,2 T, К Рис.13.4

В 1933г. Мейснер и Оксенфельд установили, что сверхпроводящийпроводник, помещенный в магнитное поле, выталкивает из себя магнитный поток. Это означает, что напряженность магнитного поля внутри сверхпроводника всегда равна нулю пока он находится в сверхпроводящем состоянии. Иначе говоря, сверхпроводники являются идеальными диамагнетиками. Таким образом, сверхпроводимость – это совокупность двух одновременно сосуществующих явлений идеальной проводимости и идеального диамагнетизма. Сверхпроводящее состояние проводника можно разрушить магнитным полем достаточно большой напряженности.

Квантовая теория сверхпроводимости была создана в 1957г. американскими учеными Бардиным, Купером, Шриффером и советскими учеными Боголюбовым, Абрикосовым и др.: БКШ-теория. Основная идея ее: отсутствие сопротивления в сверхпроводнике объясняется существованием коллективного движения свободных электронов, которое можно описать как распространение одной (суммарной) электронной волны, которая не рассеивается решеткой потому, что решетка сама участвует в образовании этой волны. Т.е. тепловые волны решетки согласованы с электронной волной. При низких температурах обязательно надо учесть взаимодействие электронов друг с другом.