Математична модель і знаходження коефіцієнтів регресії

В якості математичної моделі, яка описує аналітичну залежність ККД вентилятора (y) від частоти обертів (x₁), кута робочих лопаток (x ₂) і кута направляючих лопаток (x ₃) скористаємося поліномом першого ступеня:

y = b₀ + b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃.

Знаходження коефіцієнтів регресії моделі по експериментальним даним ведеться з використанням методу найменших квадратів згідно формули:

де j – номер фактора; N - кількість опитів.

Оскільки кожен фактор змінюється на двох рівнях +1 і −1, то обчислення коефіцієнтів b₁, b₂ і b₃ зводяться до приписування стовпцю (табл. 2) знаків стовпця відповідного фактора й алгебраїчного підсумування отриманих значень. Коефіцієнт b ₀находиться як середнє арифметичне стовпця .

Згідно з означеним маємо:

b₀ =

b₁=

b₂=

b₃=

Таким чином математична модель (рівняння регресії) запишіться так

y = 0,64 + 0,0775 x₁ – 0,035 x₂ – 0,0225 x₃.

Із попереднього аналізу отриманого рівняння цілком очевидно, що найбільший вплив на покращення ККД має частота оборотів (коефіцієнт при x₁ перевищує інші); менший вплив двох інших факторів, значення яких для підвищення y повинні знижуватися.

Круте підняття

Круте підняття – це послідовне перенесення опитів у напрямку найскорішого поліпшення параметра оптимізації. Цей процес реалізується шляхом крокового руху по градієнту (вектору), який однозначно задається рівнянням регресії.

Оцінки складових градієнта є добуток коефіцієнтів регресії b_j на інтервали варіації I_j.

Процедура прямування по градієнту полягає в тому, що до основного рівню факторів послідовно додають величини пропорційні складовим градієнта.

Відповідно до викладеного вище для планування опитів, забезпечуючи найбільш швидке зростання ККД, перш за все обчислюють складову градієнта.

Перепишемо рівняння регресії округливши для спрощення значення коефіцієнтів

y = 0, 64 + 0, 08 x₁ − 0,03 x₂ − 0,02 x₃.

Складові градієнта визначаємо з рівняння

= b_j ∙ I_j,

де b_j – значення коефіцієнта регресії; I_j – інтервал варіації.

Ці складові становлять для частоти обертів ₁ = 0,08 ∙ 100 = 8, для кута робочих лопаток

₂= (− 0,03) ∙ 5 = − 0,15 і для кута направляючих лопаток ₃ = (− 0,02) ∙ 2 = − 0,04.

Тепер для крутого підняття необхідно задати крок зміни одного із факторів, а інші змінювати на величини пропорційні відношенню 8: (− 0,15): (− 0,04). В якості головного фактора виберемо найбільш значимий − частоту обертів − і покладемо крок його змінення у наступній серії опитів порівнюваним ∆₁= 200 об/ хвил. Тоді крок змінення кута робочих лопаток

∙ 200≈ −4 град,

а крок зміни кута направляючих лопаток

∙ 200≈ −1 град.

Виконанні обчислення, а також основний рівень, від якого починається рух по градієнту наведені в табл. 6.

Таблиця 6

Параметри	x₁	x₂	x₃
Коефіцієнт при факторах, b_j	0,08	− 0, 03	− 0,02
Інтервали варіації, I_j,
Складові градієнта, = b_j∙I_j		− 0,15	−0,04
Крок змінення факторів, ∆ x_j		− 4	−1
Основний рівень

Тепер можна приступити до серії опитів руху по градієнту. Умови перших шести опитів и їх результати представлені в табл. 7.

Таблиця 7

Опити	x₁	x₂	x₃	y
				0,81
				0,83
				0,84
				0,85
				0,82
				0,79

Як можна побачити після 12 опиту наступний рух по градієнту припинив приносити позитивні результати.

Таким чином теперішній екстремальний експеримент дозволив встановити, що максимально можливий ККД вентилятора дорівнюючий 0,85 досягається при частоті оборотів ротора за хвилину 1800 й кутах установки робочих і направляючих лопаток відповідно 24 і 12 градусів.

Список літератури

1. Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1976.

2. Глухих В.В. Основы научных исследований: Учебное пособие/ УГЛА, Екатеринбург, 1998 – 90с.

Варіанти індивідуальних завдань ( згідно табл.2)

опити
	0.75	О.8	0.54	О.55	0,62	0,7	0,55	0,6	0,75
	0,6	0,54	0,55	0,62	0,7	0,55	0,6	0,75	0,55
	0,54	0,6	0,75	0,7	0,75	0,62	0,7	0,55	0,6
	0,8	0,75	0,6	0,55	0,55	0,55	0,62	0,7	0,8
	0,7	0,62	0,55	0,6	0,54	0,6	0,75	0,8	0,55
	0,55	0,55	0,7	0,75	0,8	0,75	0,8	0,55	0,54
	0,62	0,55	0,62	0,8	0,75	0,8	0,54	0,62	0,62
	0,55	0,7	0,55	0,54	0,6	0,54	0,55	0,8	0,7