Знакопеременные и знакочередующиеся ряд. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов

Числовой ряд

u₁+u₂+u₃+…+u_n+… (2)

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд (2) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда (2) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u_nстремится к нулю при n→∞, то ряд (2) сходится.

Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд (2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

│u₁│+│u₂│+│u₃│+…+│u_n│+… (3)

составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд (2) сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд (3) расходится, то данный ряд (2) называется условно(неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимости ряда (3) в общем случае не следует расходимость ряда (2).

Пример 3. Исследовать на сходимость (абсолютную и условную) знакочередующийся ряд:

Решение. Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: 1> и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд

составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Пример 4. Исследовать сходимость знакопеременного ряда

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Для исследования этого ряда применим признак Даламбера. Имеем

Ряд, составленный из абсолютных величин, сходится; следовательно, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно. [1]