Понятие числового ряда

Числовые ряды

При изучении многих практических вопросов естествознания и техники применяется метод поэтапного исследования данного объекта. На первом этапе учитываются самые главные характеристики изучаемого процесса, явления - как говорят, выполняется этап первого приближения. Потом переходят к следующему этапу, учитывая новые или более точно старые характеристики предмета, и т.д.

Одним из математических понятий, при помощи которых моделируются такие ситуации, является понятие «суммы» бесконечного числа слагаемых, за которым утвердилось название ряда.

Числовым рядом называется сумма вида

(1)

где числа , называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы

S₁= u₁,

S₂= u₁+ u₂,

S₃= u₁+ u₂+u₃,

…

S_n=u₁+u₂+u₃+…+u_n,

составленный из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S₁, S₂, S₃, …, S_n,.. Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S_n стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е.

или

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела, то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то значение S_n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность r_n= S - S_n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т. е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.