Пример решения задачи № 1

Даны временные (волновые) диаграммы тока и напряжения одной частоты в цепи. Определите по ним: мгновенные значения в момент t₁ = 50 мкс, максимальные значения, начальные фазы, сдвиг фаз, период.

Вычислите угловую и циклическую частоту.

Запишите уравнения u = ƒ(t); i = ƒ(t).

Постройте векторную диаграмму для действующих значений тока и напряжения в цепи. Начертите схему цепи из двух или одного элемента, для которой характерны данные временная и векторная диаграммы. Объясните свой выбор.

1. Максимальные значения напряжения и тока:

U_m = 3В; I_m = 20 мА.

2. Мгновенные значения напряжения и тока в момент ti = 50 мкс:

u(t₁) =2,5 В; 1(t₁)=10мА.

3. Начальные фазы напряжения и тока:

ψ_u =60° ψ_i= -30°.

4. Для определения характера цепи вычисляют сдвиг фаз между напряжением и током (а не наоборот):

φ= ψ_u - ψ_i = 60-(-30°) = 90°,

напряжение опережает ток на угол = 90°.

5. Период Т = 400 - 100 = 300 мкс.

6. Циклическая частота

7. Угловая частота

Величины ƒ, φ и Т у тока и напряжения одинаковы.

8. Уравнения u= ƒ(t), i = ƒ(t)

u = 3 sin (209331t+ 60°), В

i = 20sin(209331t-30°), мA.

9. Действующие значения напряжения и тока:

;

10. Векторная диаграмма:

длина вектора U = 2,13 В, угол поворота относительно горизонтальной оси ψ_u= 60°; длина вектора I == 14,2 мА, угол поворота относительно горизонтальной оси ψ_i = - 30

Задача № 2

Решение задачи № 2 требует знания основных понятий и физических процессов, происходящих в неразветвленных цепях при гармоническом воздействии, содержащих резистивные, индуктивные и емкостные сопротивления.

К таким понятиям относятся: период и частота переменного тока (напряжения), угловая частота, фаза, начальная фаза, максимальное, мгновенное и действующее значение тока (напряжения), резистивная, реактивная и полная мощности; резистивное, индуктивное и емкостное сопротивление и др.

Необходимо твердо знать расчетные формулы основных законов неразветвленных цепей переменного тока, всех производных формул этих законов и уметь применять их для расчета электрических цепей с последовательным соединением элементов.

Уметь применять символический метод расчета цепей при гармоническом воздействии. Применение символического метода при расчете цепей переменного тока позволяет пользоваться всеми законами и методами, которые применялись для расчета цепей постоянного тока.

Напомним, что существует три формы записи комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная:

где - модуль комплексного числа;

- аргумент комплексного числа.

Следует помнить, что сложение и вычитание комплексных чисел выполняется в алгебраической форме, а умножение и деление выполняется проще в показательной форме.

Введем символическое обозначение для всех величин, определяющих параметры и режим переменного тока:

1. Комплексные напряжения и токи следует обозначать большими буквами U, I с черточкой под ними.

2. Комплексное сопротивленце обозначается большой буквой Z с черточкой под ней, а модуль - большой буквой Z (без черточки).

3. Комплексная мощность обозначается большой буквой Ps с черточкой внизу. Для вычисления мощности в комплексной форме необходимо комплексное напряжение умножить на сопряженный комплексный ток I, т.е. комплексный ток с обратным знаком аргумента:

где Ps = U * I - полная мощность, В • А;

Р = U • I • cosφ - резистивная мощность, Вт;

Р_Р= U • I • cosφ - реактивная мощность, вар.

После решения задачи необходимо построить векторную диаграмму напряжений и тока. Сделать это лучше всего в следующей последовательности:

1. Выписать полученные конечные результаты вычислений в виде комплексных напряжений и токов.

2. Выбрать и указать масштабы тока и напряжений.

3. Построить на комплексной плоскости все три вектора напряжений на приемниках энергии в порядке их следования на схеме так, чтобы графически сложив их, получить вектор общего напряжения. На диаграмме изобразить также вектор тока и показать ф - угол сдвига фаз между напряжением и током.

Пример решения задачи № 2

Дана цепь синусоидального тока (рис. 39) с параметрами, указанными в табл. 7. Схему рис. 39 перечертите, оставив только те элементы, которые заданы в табл. 7. Определите все реактивные сопротивления элементов. Запишите в алгебраической и показательной формах полные сопротивления Z ₁, Z ₂, Z ₃, Z_ЭК. Рассчитайте ток I и напряжения U _1,2, U _2,3, U _3,4,

Определите Р, Р_P, Р s, φ

Постройте в масштабе векторную диаграмму. Изобразите схему замещения цепи и определите числовые значения ее элементов R_ЭК, L_ЭК, С_ЭК

Таблица 7

Ва ри ант № рис U I ƒ R₁ L₁ C₁ R₂ L₂ C₂ R₃ L₃ C₃

В А Гц Ом мГн мкФ Ом мГн мкФ Ом мГн мкФ

? - 318,3 19,1 - - - 397,9

Дано: U =51 B

ƒ=50 Гц

R₁=R₂=6 Oм

С₁=318,3 мкФ

L₂=19,1 мГн

С₃=397,9 мкФ

______________________

Найти: Х_С1, Х_L₂, Х_С3, Z ₁,

Z ₂, Z ₃, Z _ЭК, I, U _2,3, U _1,2,

U _3,4, φ, P, P_P, P _S, R_ЭК, L_ЭК

С_ЭК

Постройте векторную диаграмму.

Начертите схему замещения.

Решение.

1. Находим угловую частоту:

2. Находим реактивные сопротивления элементов схемы:

3. Находим комплексные полные сопротивления участков Z ₁, Z ₂, Z ₃в алгебраической и показательной формах:

где

4. Находим комплексное полное сопротивление цепи Z _ЭК:

где R_ЭК=12 Ом Х_ЭК= -12 Ом

сдвиг фаз между напряжением и током в цепи. Характер цепи емкостной, так как φ < 0.

5. По закону Ома находим общий ток:

Значение U = 51 В, в показательной форме

6. По закону Ома для участка цепи находим напряжения на участках

цепи U _1,2, U _2,3, U _3,4

7. Находим резистивную Р, реактивную Р_Р и полную Р _S мощности:

где P=P_Scosφ=108,19 Вт

P_P=P_Ssinφ= -108,19 вар

8. Строим векторную диаграмму. Для этого выписываем из решения все значения напряжений и тока в показательной форме:

2) Выбираем масштабы тока и напряжений и определяем длину векторов.

;

3) Строим в выбранном масштабе вектор напряжения U_1,2-на первом участке длиной 3,5 см под углом (-14°) к действительной оси.

4) К его концу прикладываем начало вектора U_2,3- длиной 2,5 см под углом (90°) к действительной оси.

5) К его концу прикладываем начало вектора U_3,4- длиной 2,4 см под углом (- 45°) к действительной оси.

6) Если задача решена правильно, то геометрическая сумма векторов U_1,2, U_2,3, U_3,4 - (вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего) даст изображение вектора U длиной 5,1 см, под углом 0° (горизонтально), так как

7) Отдельно строим вектор общего тока I длиной 3 см, под углом 45⁰к действительной оси.

Рис. 41

8) Покажем на диаграмме угол φ - сдвиг фаз между общим напряжением и током

φ = φ_U - φ₁= 0⁰- 45⁰= -45⁰

9) Рассчитаем схему замещения цепи (рис. 42):

R_ЭК= 12 Ом; (см. п. 4);

L_ЭК = L₂ =19,1 мГн;

Схема замещения цепи

Рис. 42

Задача № 3

Решение задачи № 3 состоит в расчете основных параметров и характеристик колебательного контура:

последовательного (рис. 43) - варианты 1-5

или параллельного (рис. 44) - варианты 6-10.

Важнейшими параметрами колебательного контура являются: резонансные частоты ƒ₀, и ω₀, характеристическое сопротивление ρ, добротность Q, затухание d

Резонанс - это явление в электрической цепи, содержащей участки, имеющие индуктивный и емкостный характер, при котором разность фаз напряжения и тока на входе цепи равна нулю.

В последовательном колебательном контуре (рис. 43) - варианты 1-5, входное комплексное сопротивление.

Рис. 43

при резонансе становится чисто резистивным Z _ВХ0 = R, из-за равенства

нулю реактивной составляющей X, т.е.

Это условие выполняется для единственного значения угловой частоты , называемой резонансной.

Для частот, отличных от резонансной, входное сопротивление контура имеет индуктивный характер при ω > ω₀ (х > 0) или емкостной при ω < ω₀ (х < 0).

Величина любого из реактивных сопротивлений при резонансе равна характеристическому сопротивлению контура:

а отношение его к резистивному сопротивлению Q = p/R называют добротностью. Затухание колебательного контура определяют как d = 1/Q.

Резонанс в последовательном контуре называют резонансом напряжений, так как напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости и в Q раз больше, чем на входе:

U_LO=U_CO=I_O*ρ=U*Q=U/d

Ток в контуре при резонансе I_O= U/R, мощность P_O= I_O²*R.

Частотными характеристиками колебательного контура называются зависимости параметров контура от частоты: Х₁=ƒ(ω), Х_C=ƒ(ω), X=ƒ(ω) и, соответственно, Z_BX =ƒ(ω) и φ_ZBX =ƒ(ω).

Зависимости тока и напряжения на элементах контура от частоты I=ƒ(ω), U=ƒ(ω) называются резонансными кривыми. Частотные характеристики и резонансные кривые могут быть построены в функции частоты либо в функциях расстроек. Следует различать понятия абсолютной ∆ω=ω – ω_O, относительной ∆ω/ω_O и обобщенной ξ расстроек, а также знать формулу, связывающую эти понятия:

Использование понятия обобщенной расстройки значительно упрощает уравнения и облегчает расчет характеристик. Представим ток в последовательном контуре в функции обобщенной расстройки:

где I_O - ток при резонансе, I_O = U/R;

I - ток при расстройке; ξ = X/R.

Напряжение на емкости при небольших расстройках:

Передаточная АЧХ определяется из выражения:

а при малых расстройках:

Очевидно, что на резонансной частоте, при ξ = О, К_O = Q. Таким образом, под понятием «резонансная кривая» понимают зависимости:

I=ƒ(ξ), K= ƒ(ξ), U_C= ƒ(ξ), U₁= ƒ(ξ).

Для определения диапазона частот, пропускаемого контуром, введено понятие «полосы пропускания контура».

Полосой пропускания называется диапазон частот, в котором коэффициент передачи уменьшается не более, чем √2 раз по сравнению с резонансным (максимальным).

Абсолютная полоса пропускания:

П=2∆ƒ_ГР=ƒ₂-ƒ₁=ƒ_О/Q

где ƒ₁ и ƒ₂ - нижняя и верхняя граничные частоты, на которых коэффициент передачи составляет 1/√2 == 0,707 от резонансного значения

ƒ₁=ƒ_O-П/2=ƒ_O-ƒ_O/(2·Q)

ƒ₁=ƒ_O-П/2=ƒ_O+ƒ_O/(2·Q)

Значения ξ₁ и ξ₂, соответствующие границам полосы пропускания, соответственно равны ξ_1,2 = ± 1.

Относительная полоса пропускания:

Избирательностью называется способность контура усиливать напряжения на различных частотах в неодинаковое число раз, она при заданной расстройке оценивается в децибеллах: , на граничных частотах она составляет 3 дБ.

В параллельном колебательном контуре (рис. 44, варианты 6-10) резонанс наступает, когда входная реактивная проводимость его равна нулю, т.е. В₁ + В₂ = 0 или |B₁| = |B₂|.

Реактивные составляющие токов ветвей в режиме резонанса по абсолютной величине одинаковы:

; ;

а напряжение и ток во входной цепи совпадают по фазе. Подобный резонанс называют резонансом токов.

Рис. 44

Резонансная частота пассивного параллельного колебательного контура определяется выражением:

а при добротностях Q ≥ 3 она практически равна резонансной частоте последовательного контура, собранного из тех же элементов, т.е.

Добротность и характеристическое сопротивление параллельного колебательного контура определяются по тем же формулам, что и для последовательного:

;

Входное сопротивление при резонансе имеет чисто резистивный характер, так как напряжение и ток во входной цепи совпадают по фазе и в Q² раз больше резистивного сопротивления контура:

Для того, чтобы параллельный контур обладал избирательностью по напряжению, необходимы практически одинаковые значения тока во входной цепи при изменении частоты. Для этого последовательно с источником напряжения включают большое сопротивление R_i >> Z_BXO, которое изменяет добротность цепи:

тогда ток во входной цепи определяется по формуле:

Токи I₁₀ и I₂₀ при резонансе приблизительно одинаковы и каждый из них больше тока во входной ветви в Q раз:

Модуль коэффициента передачи по напряжению равен:

а напряжение на контуре:

Абсолютная и относительная полосы пропускания, как и в последовательном контуре, соответственно равны:

;

Пример решения задачи № 3 (варианты 1-5) рис. 43

Дан последовательный колебательный контур (рис. 43) с параметрами, указанными в табл. 8. Определите резонансную частоту ω₀ (ƒ₀), характеристическое сопротивление ρ, добротность Q, затухание d. Чему равны ток I₀, расходуемая мощность Р_O, напряжения на реактивных элементах U_LO и U_CO при резонансе напряжений. Постройте указанную в табл. 8 зависимость при изменении обобщенной расстройки ξ = 0; ± 1; ± 2; ± 3. Вычислите значение абсолютной полосы пропускания.

Таблица 8.

U	R	L	C	Построить зависимость
В	Ом
1,8		636 мкГн	600 пФ	I=ƒ(ξ) Z_BX= ƒ(ξ) φ_ZBX= ƒ(ξ) U_L=U_C= ƒ(ξ)

Дано: U=1.8 B

R=15 Ом

L=636 мкГн=636*10^-6 Гн

С=600 пФ=600-10^-12 Ф

______________________

Найти: ω₀, ƒ₀, ρ, Q, d, I₀,

P₀, U_LO, U_CO, П

(зависимости см. в табл. 8)

Рис. 43

Решение

1. Резонансная угловая и циклическая частоты:

2. Характеристическое сопротивление:

3. Добротность:

4. Затухание:

5. Ток при резонансе:

6. Расходуемая мощность:

Р_О=I_O²R=0,12²*15=0,216 Вт

7. Напряжения на реактивных элементах:

U_LO=U_CO=U*Q=1,8*68,63=123,53 B

8. Абсолютная полоса пропускания:

9. Расчеты и графики зависимостей:

I=ƒ(ξ), Z_BX= ƒ(ξ), φ_ZBX= ƒ(ξ), U_C=U₁= ƒ(ξ)

приведены ниже (в каждом варианте следует построить только одну из приведенных зависимостей).

Рассчитаем и построим заданные зависимости:

1. ; I=ƒ(ξ)

ξ = 0; I_O=0,12 A;

ξ = ± 1; I=0,085 A;

ξ = ± 2; I=0,054 A;

ξ = ± 3; I=0,038 А.

2. , где Z_BX= ƒ(ξ)

ξ = 0; Z_BXO=15 Ом;

ξ = ± 1; Z_BX=21,15Ом;

ξ = ± 2; Z_BX=33,5 Ом;

ξ = ± 3; Z_BX=47,4 Ом.

3. φ_ZBX = arctg ξ φ_ZBX = ƒ(ξ)

ξ = 0; φ_ZBXO = 0⁰;

ξ = ± 1; φ_ZBX = ±45⁰;

ξ = ± 2; φ_ZBX = ±63,43⁰;

ξ = ± 3; Z_BX= ±71,56⁰

4. ; U_C= ƒ(ξ)

ξ = 0; U_CO=123,53 В;

ξ = ± 1; U_C=87,4 В;

ξ = ± 2; U_C=55,2 В;

ξ = ± 3; U_C=39,1 В.

5. ; U_L= ƒ(ξ) (см. п. 4 U_C= ƒ(ξ))

Пример решения задачи № 3 (варианты 6-10)

Дан параллельный колебательный контур (рис. 44) с параметрами, указанными в табл. 9, к которому присоединен источник синусоидальной ЭДС Е с внутренним сопротивление Ri.

Определите частоту ω₀ (ƒ₀), на которой происходит резонанс токов, характеристическое сопротивление ρ, собственную добротность Q, входное сопротивление Z_BXO эквивалентную добротность Q_Ц, входной ток I_О и токи в параллельных ветвях I₁₀ и I₂₀.

Рассчитайте модуль коэффициента передачи по напряжению при обобщенной расстройке ξ = 2 и напряжение на контуре при этой расстройке. Как изменится полоса пропускания, если внутреннее сопротивление источника Ri увеличить в два раза?

Таблица 9.