double arrow

Теоретическое введение. Считается, что Ньютон выдвинул гениальную идею о том, что не только между Солнцем и Землей, а между любыми телами

Считается, что Ньютон выдвинул гениальную идею о том, что не только между Солнцем и Землей, а между любыми телами, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними, действует сила взаимного притяжения, подчиняющаяся закону: сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

(3.1)

Здесь – коэффициент пропорциональности, называемый постоянной всемирного тяготения или гравитационной постоянной. В системе СИ имеет значение:

Сформулированный закон носит название закона всемирного тяготения, а взаимодействие, о котором идет речь в этом законе, называется гравитационным взаимодействием. Заметим, что в отличие от электростатического взаимодействия, гравитационная сила всегда есть сила притяжения.

Выражение (3.1) записано для взаимодействия двух материальных точек. Силу притяжения, действующую со стороны Земли на всякое тело вблизи ее поверхности, можно с хорошей точностью считать постоянной, не зависящей от удаления тела от земной поверхности. Допустим, что тело массы находится на высоте от поверхности Земли (). Тогда сила, действующая на тело и направленная к центру Земли, будет равна

(3.2)

где – масса Земли, – радиус Земли, а величина

(3.3)

и есть ускорение свободного падения, так как оно равно постоянному (с точностью до ) ускорению, с которым движутся к поверхности Земли все тела под действием ее притяжения. Учитывая, что кг, м, получаем хорошо известное из школы значение м/с2, которое и проверяется в этой работе на опыте.

Конечно, при подобном рассмотрении мы сделали два упрощающих предположения. Считаем Землю строго сферическим телом, хотя она слегка сплющена вдоль своей оси вращения, и предполагаем, что плотность вещества Земли всюду постоянна. Оба эти предположения выполняются с хорошей точностью – достаточно сказать, что силы тяжести, измеренные на полюсе и на экваторе отличаются на доли процента. Так что задача сводится к определению силы гравитационного притяжения между материальной точкой массы и однородным шаром (Землей). Вычисляя эту силу, можно доказать, что действие шара на материальную точку эквивалентно действию помещенной в центре шара материальной точки с массой, равной массе шара.

В данной работе ускорение свободного падения определяем на опыте, изучая колебания математического маятника – небольшого грузика массой , подвешенного на абсолютно жесткой, нерастяжимой нити длиной ; массу нити будем считать пренебрежимо малой. Рассмотрим, как второй закон Ньютона позволяет исследовать особенности колебательного движения груза под действием силы тяжести. На рис. 3.1 показаны силы, действующие на грузик в момент, когда угол отклонения его равен . Уравнение движения (второй закон Ньютона) имеет вид

(3.4)

где – сила натяжения нити, – сила тяжести.

В каждой точке движение грузика происходит в направлении касательной к окружности под действием тангенциальной (направленной по касательной) составляющей силы тяжести. Из рис. 3.1 видно, что эта составляющая . Проектируя уравнение (3.4) на направление касательной к траектории движения, запишем

(3.5)

(сила натяжения нити направлена по нормали к траектории, так что ее проекция на касательную равна нулю). Здесь через обозначена касательная к окружности составляющая ускорения; – тангенциальное ускорение.

Так как длина дуги окружности , то скорость грузика, направленная по касательной, , и тангенциальное ускорение (, ). Поэтому уравнение (3.5) при малых отклонениях от положения равновесия (можно положить ) представляется таким образом

(3.6)

где .

Можно убедиться (вспомнив правило дифференцирования тригонометрических функций), что решением уравнения (3.6) является гармоническое колебание

(3.7)

Системы, описываемые уравнением (3.6), называются гармоническими осцилляторами.

В (3.7) постоянные и амплитуда и начальная фаза; они определяются начальными условиями, - тем, как именно система выводится из состояния равновесия; круговая или циклическая частота. Аргумент косинуса называется фазой колебания. Поскольку косинус – периодическая функция с периодом , различные положения грузика, совершающего гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени , за который фаза колебаний получает приращение . Его можно определить из условия

Откуда

Этот промежуток времени называется периодом колебаний. В нашем случае

, (3.8)

где длина нити; – ускорение свободного падения. Выразим из формулы (3.8) величину :

(3.9)

Таким образом, измерив длину нити и период колебаний маятника, можно опытным путем найти ускорение свободного падения. Для получения более точного результата следует измерять не время одного полного колебания (период) , а время нескольких () колебаний . Учитывая, что , преобразуем выражение (3.9) к виду

. (3.10)

Из формулы (3.8) следует, что при фиксированной длине нити период колебаний маятника представляет собой постоянную величину ( для данной географической точки). Поэтому при неоднократном измерении времени одного и того же количества колебаний, казалось бы, должен получаться неизменный результат. Однако даже при использовании сравнительно точного прибора (например, электронного секундомера) можно убедиться в том, что от опыта к опыту значение изменяется то в большую, то в меньшую сторону. Различия в результатах измерения одной и той же величины объясняются случайными погрешностями. Изучение погрешностей является одной из главных целей данной лабораторной работы.

Если при многократных измерениях количество колебаний N брать неизменным, то расчетную формулу (3.10) для определения ускорения свободного падения удобнее представить в виде

, (3.11)

где

(3.12)

В заключение позволим себе еще одно замечание. При выводе формулы для периода колебаний математического маятника было сделано много различных предположений и допущений. Но без отбрасывания несущественных подробностей вообще нельзя было бы найти физические законы. Первым это понял Галилей, который и считается основателем научного метода в физике.

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: