Множества и операции над ними

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

И задания к выполнению контрольной работы по дисциплине ЕН.01 «математика»

Специальность 44.02.02 Преподавание в начальных классах

(заочная форма обучения)

 

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

Учебным планом на заочном отделении для специальности 44.02.02 Преподавание в начальных классах предусмотрена домашняя контрольная работа по дисциплине ЕН.01 «Математика» с целью проверить и оценить усвоение студентами основных вопросов учебного материала.

Контрольная работа состоит из пяти заданий, каждый студент получает свой вариант работы.

Заданиядают возможность оценить навыки студентов при решении текстовых задач арифметических методом. Наряду с развитием логического мышления, арифметический метод способствует усвоению теоретических сведений и формированию основных арифметических понятий, показывает практическое значение арифметики.

При выполнении контрольной работы студенту необходимо придерживаться следующих правил:

- студент обязан выполнить задания только своего варианта и сдать работу на проверку в установленный срок;

- контрольную работу следует выполнять в ученической тетради в клетку чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля (3 – 4 см) для замечаний. В конце тетради необходимо оставить несколько чистых страниц для исправлений и добавлений в соответствии с указаниями рецензента;

- в работу должны быть включены все задачи, указанные в варианте. Решение задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя нумерацию задач. Перед решением задачи необходимо выписать ее условие;

- при решении необходимо составить краткую запись условия задачи, записать решение по действиям с пояснениями;

- после получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания должна быть переделана вся контрольная работа заново. Переделанная контрольная работа отдается на рецензирование с незачтенной ранее контрольной работой и рецензией к ней.

 

Оценивание контрольной работы производится по системе «зачет/незачет».

Контрольная работа не засчитывается в случае, если правильно решено менее трех заданий.

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Понятие «множество» является одним из основных понятий математики, не определяемых через другие. Это понятие можно рассмотреть на примерах:

- множество студентов, обучающихся в СИПК;

- множество прямоугольников;

- множество натуральных чисел.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы множества обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Принадлежность элемента к какому-либо множеству записывается с помощью символа Î. Математическое выражение a Î A означает, что объект а принадлежит множеству А, а выражение a Ï A означает, что объект а не принадлежит множеству А.

Способы задания множества:

1) через характеристическое свойство: D = { y | P (y)}, где P(y) – характеристическое свойство множества D;

2) перечислением всех элементов множества.

Конечные множества можно задать как перечислением, так и с помощью характеристического свойства. Бесконечные множества задаются только с помощью характеристического свойства.

Пример:

Пустое множество – это множество, не содержащее элементов (∅).

Множество, состоящее из чисел, называют числовым множеством. Примерами числовых множеств являются:

N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел; Q — множество рациональных чисел; R — множество действительных чисел.

 

Отношения между множествами представлены в таблице 1.

Таблица 1

Отношение. Диаграмма Эйлера-Венна	Определение	Условная запись
В - подмножество А	Если каждый элемент множества B является элементом множества А, и в множестве А есть хотя бы один элемент, не принадлежащий В, то говорят, что множество В - подмножество А	В Ì А
А равно В	Если В Ì А и А Ì В, то множества А и В называются равными.	А = В
А и В пересекаются	Если множества А и В имеют общие элементы, то такие множества называются пересекающимися	В ∩ А
А и В не пересекаются	Если два множества не имеют общих элементов, то они называются непересекающимися	В ∩ А = Æ

Из элементов нескольких множеств можно образовывать новые множества, такие преобразования называются операциями над множествами.

Основные операции над множествами представлены в таблице 2.

Таблица 2

Операция. Диаграмма Эйлера-Венна	Обозначение	Определение
Пересечение	А ∩ В ={ x | x Î A и x Î B }	Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат множеству А имножеству В
Объединение	А È В = { х | х Î А или х Î В }	Объединением множеств А и В называется такое множество, все элементы которого принадлежат множеству А или множеству В
Разность	А \ В = { х | х Î А и х Ï В }	Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат В

Задача 1 Задайте множества A — множество остатков от деления натуральных чисел на 5, и путем перечисления элементов.

Решение

А= { 0, 1, 2, 3, 4 }, B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12 }.

Задача 2

Даны множества А = {1, 2, 5, 7, 10} и В = {2, 3, 5, 6, 7, 9}. Найдите АÇВ, АÈВ, А\В ипостройте диаграммы Эйлера-Венна.

Решение

Пересечение А∩В = {2, 5, 7}
Объединение АÈВ = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}
Разность А \ В = {1, 10}

 

Задача 3

Из 100 школьников английский знают 42, немецкий — 30, французский — 28, английский и немецкий — 5, английский и французский — 10, немецкий и французский — 8, английский, немецкий и французский — 3 школьника. Сколько школьников не знают ни одного языка?

 

Решение

Обозначим через А — множество школьников, знающих английский язык; N — множество школьников, знающих немецкий язык; F — множество школьников, знающих французский язык.

Решим задачу с помощью диаграммы Эйлера–Венна.

Так как 3 языка знают 3 школьника, то английский и немецкий знают 5 – 3 = 2, английский и французский — 10 – 3 = 7, немецкий и французский — 8 – 3 = 5 школьников.

Только английский знают 42 – (2 + 3 + 7) = 30, только немецкий — 30 – (2 + 3 + 5) = 20, только французский — 28 – (3 + 5 + 7) = 13 школьников.

Ни одного языка не знают 100 – (2 + 3 + 5 + 7 + 13 + 20 + 30) = 20 школьников.

 

 

Задача 4

Найдите множество допустимых значений переменной для уравнения

Решение

 

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Текстовая задача

I Разбор текстовой задачи

Представление ситуации, о которой говориться в за­даче

Определение условия за­да­чи (определение ее дан­ных)

Определение требования за­да­чи (определение искомых за­да­чи)

II Построение вспомогательной модели текстовой задачи

Схема

Таблица

Рисунок

Графическая модель

Предметная

III Определение метода решения текстовой задачи

Интуитивно

На основе логического анализа структуры текстовой задачи

Арифметический метод

Алгебраический метод

Графический метод

IV. Поиск решения текстовой задачи и составление плана решения задачи

Синтетический или

Обозначение х, у,... неизве­с­тных или искомых задачи

Выбор графической мо­де­ли (чертеж, диаграмма,

аналитический спо­соб

чертеж на ко­ор­ди­нат­ной плоскости)

составление выражения с неизвестными х, у,...

Составление плана решения задачи

Построение математической модели текстовой задачи

Составление плана решения задачи

(уравнение, неравенство)

Составление плана решения задачи

V. Оформление решения текстовой задачи (реализация плана решения задачи)

Вопрос; действие с по­яс­не­ни­я­ми; числовое выражение

Решение уравнения или неравенства

Решение по чертежу (диаграмме)

VI Проверка решения текстовой задачи

Прикидка ответа

Подстановка ответа

Решение обратной задачи

Решение другим методом (способом)

VII Формулировка (запись) ответа

 

Задачи на части

Задача 5

Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10 кг ягод?

Решение

Изобразим краткую запись с помощью отрезков.

 

Ягоды

 

10 кг

Сахар

 

? кг

 

1) 10: 2 = 5 (кг) – приходится на 1 часть;

2) 5 × 3 = 15 (кг) – необходимо взять сахара.

Ответ: 15 кг.