Расчетные формулы и соотношения

Применяя выборочный метод в экономических исследованиях, обычно используют два основных вида обобщающих показателей: относительную величину альтернативного признака и среднюю величину количественного признака.

Относительная величина альтернативного признака характе­ризует долю (удельный вес) единиц в статистической совокупно­сти, которые отличаются от всех других единиц этой совокупно­сти только наличием изучаемого признака, например, доля нестан­дартных образцов во всей партии товара, удельный вес бракован­ных деталейкв партии.

Средняя величина количественного признака - это обобщающая характеристика варьирующего признака, который имеет различные значения у отдельных единиц статистической совокупности, напри­мер, средний размер обрабатываемых изделий, характеризующий стабильность технологического процесса обработки деталей.

 

Введем обозначения:

р - генеральная доля (доля единиц генеральной совокупности, обладающая изучаемым признаком);

х - генеральная средняя (средняя величина изучаемого варь­ирующего признака).

171

Тогда выборочная доля, или частность, определяется как w = —,

п

где w - выборочная доля; т - единицы выборки, обладающие изучаемым признаком; п - общая численность выборки.

Возможные отклонения характеристик (относительных и сред­них) выборочной и генеральной совокупности называются погреш­ностью (ошибкой) выборки.

R

Средняя ошибка определяется как

где м - средняя ошибка выборки;

erg - генеральная дисперсия;

п - объем выборки.

Использование данной формулы предполагает, что генеральная дисперсия известна, но это далеко не так. На практике для опре­деления средней ошибки выборки обычно используются диспер­сии выборочной совокупности а². Из математической статистики известно соотношение:

2 2 о ^=а

п-1

Отсюда следует, что при больших объемах выборки генераль­ную дисперсию можно заменить выборочной при определении средней ошибки выборки. В этом случае формула расчета сред­ней ошибки будет иметь вид:

/_а 2

ц ~ v — • Эта формула применяется при повторном отборе.

Для показателя доли альтернативного признака дисперсия в выборочной совокупности определяется по формуле: a²_w = w(1 — w).

Для показателя средней величины дисперсия количественного признака в выборке определяется по формулам:

If.

[1] =----------- ^:--------- ИЛИ (УI

 

 

При бесповторном отборе численность генеральной совокупно­сти N в ходе выборки сокращается, и в формулу расчета необхо­димо включить дополнительный множитель. При этом формула

1 2 /	\
	1 - — 1
1» 1

средней ошибки будет иметь вид: ц ~

чения предыдущих формул, получим необходимые расчетные со­отношения (доли стандартных изделий и среднего веса соответ­ственно):

U-JZ*. —f 1

N

Одно из возможных значений доли стандартных изделий и среднего веса изделия по всей партии продукции определяется, соответственно по формулам:

p = w±tp._w. х = x±tp_{x 5}

где t - коэффициент доверия (коэффициент Стьюдента), зависящий от доверительной вероятности, находим из таблицы 1.

Таблица 1 Коэффициент Стьюдента и доверительная вероятность

Коэффициент	Вероятность	Коэффициент	Вероятность
0,0	0,0000	2,0	0,9545
0,1	0,0797	2,5	0,9876
0,5	0,3829	2,6	0,9907
1,0	0,6827	3,0	0,9973
1,5	0,8664	4,0	0,999937

Так, если t = 1, то с вероятностью 0,6827 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превысит средней ошибки выборки. Предельные ошибки вы­борки (D) определяются по формулам:

I w(1 - w) „. I<7'

для доли: Д = t ---------------, для средней: A = tJ— •

V п V п

Доверительные интервалы для р: (w ±Д); для х: (х ±Д).