Фредгольма (а) і Вольтеррі (б)

Наявність параметру у рівнянь (7.3) і (7.4) надає цим рівнянням більш загальний вигляд і дає змогу виявити існування їх розв’язків при тих чи інших значенням . Якщо допустити, що , то розв’язків рівнянь (7.3) і (7.4) може і не бути.

Нехай для обчислення визначеного інтегралу використовується деяка квадратурна формула

,

з вузлами і з відповідними їм ваговими коефіцієнтами . Тоді отримаємо наближене подання розв’язку рівняння (7.3) через його значень , , …,

, (7.5)

де значення , , співпадають з вузлами , .

Введемо такі позначення , і . Тоді, змінюючи від 1 до в (7.5), отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

, , (7.6)

де , , ; , , .

Систему рівнянь (7.6) можна розв’язати за допомогою процедури SystemEqualizationAgebra. Результатом такого розв’язку будуть значення , , …, , які утворюють каркас наближеного розв’язку інтегрального рівняння на сітці , .

При фіксованих значеннях і системи рівнянь (7.6) зміною параметра (зменшення його модуля) можна покращити обумовленість[1] матриці коефіцієнтів .

Для визначення параметрів можна використати методи числового обчислення визначених інтегралів, наприклад метод трапецій чи метод Сімпсона.

Використання метода трапецій приводить до такої складеної формули:

,

де ; - кількість під інтервалів, на які розбитий інтервал .

Таким чином, , , , де .

У випадку використання формули Сімпсона будемо мати

,

де ; ; - кількість підінтервалів, на які розбитий інтервал .

Із останнього співвідношення випливає, що , , , .

Точність числового розв’язку інтегрального рівняння квадратурним методом залежить від ряду взаємозв’язаних факторів: застосованої квадратурної формули, кількістю вузлів, які використовуються, властивостей функцій, що входять до інтегрального рівняння.

Параметр у лінійних інтегральних рівняннях Вольтеррі не має ніякого смислового значення (на відміну від рівнянь Фредгольма). Тому, поклавши у (7.4) , приходимо до рівняння

, (7.7)

яке будемо розв’язувати числовим методом.

Позначимо . Тоді можемо записати, що

Рівняння (7.7) замінимо наближеним його аналогом

, . (7.8)

Змінюючи від до та, враховуючи прийняті раніше позначення, отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

,

, (7.9)

…………………,

,

де , , ; , , , із якої просто отримати шукані значення , , …, .

Конкретне значення величини , визначається квадратурною формулою для заміни визначених інтегралів у рівнянні (7.7) кінцевими сумами (7.8). Як приклад, розглянемо квадратурну формулу трапецій. У цьому випадку при і . Якщо , то і

,

де . З врахуванням (7.8) матимемо

.

Нехай . Тоді і відповідно

.

Отриманий результат дає можливість записати

.

Таким чином, для першого рівняння системи (7.9) ; для другого рівняння - ; для третього рівняння - , і т. д.

У загальному випадку будемо мати систему рівнянь (7.9), у якій , , , , , , …, , …, .

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (7.9) є верхньою трикутною і її розв’язок легко знайти, визначивши з першого рівняння. Потім, підставивши знайдене значення у друге рівняння, знову матимемо рівняння з одним невідомим, яке розв’яжемо відносно і т. д. У загальному випадку приходимо до такої формули:

, (7.10)

яка дає змогу визначити каркасний наближений розв’язок інтегрального рівняння на сітці , .

Приклад 7.1. Знайти каркасний наближений розв’язок інтегрального рівняння Вольтеррі

. (7.11)

У нашому випадку , . До рівняння (7.11) застосуємо квадратурну формулу трапецій з постійним кроком . Задамо число вузлів і кінцевий час . Тоді , де - початковий час. На рис. 7.2 показана сітка для числового розв’язку інтегрального рівняння Вольтеррі.

Для подальших обчислень створимо процедуру, яку назвемо EqualizationVolterri

 

EqualizationVolterri

Задати числові значення n, t₀, t_f та обчислити крок h

 

Сформувати вузли t_i s_i i=1, 2, …, n

Обчислення коефіцієнтів a_ij

1 for i=1 to n

2 if i=1

3 then a(i,i)=1

4 end if

5 for j=1 to i

6 Обчислити Q=Q_ij

7 if j=i

8 then a(i,j)=1-h*Q/2

9 elseif j=1

10 then a(i,j)=-h*Q/2

11 else

12 a(i,j)=-h*Q

13 end if

14 end for

15 end for

Обчислити b_i=f(t_i), i=1, 2, …, n

Розв’язок верхньої трикутної системи лінійних алгебраїчних рівнянь

16 x(1)=f(1)

17 for i=2 to n

18 s=0

19 for j=1 to i-1

20 s=s+a(i,j)*x(j)

21 end

22 x(i)=(b(i)-s)/a(i,i)

23 end for

Побудувати графік у координатах t, x

 

 

Рисунок 7.2 – Сітка числового розв’язку інтегрального рівняння Вольтеррі

Процедуру EqualizationVolterri реалізовано при наступних значеннях параметрів: , , . На рис. 7.3 показаний графік (суцільна лінія) каркасного розв’язку , інтегрального рівняння Вольтеррі (7.11). Той же рисунок вміщує графік (пунктирна лінія) точного розв’язку рівняння (7.11) - .

Рисунок 7.3 – Графіки функцій - розв’язку інтегрального рівняння Вольтеррі (7.11)

Із рисунка видно, що по мірі віддалення від свого початкового значення похибка обчислення зростає. Підвищити точність розв’язку задачі (7.11) можна збільшити, якщо використовувати точніші квадратурні формули для обчислення визначених інтегралів.

 

Контрольні питання та завдання

 

1. Дайте визначення інтегрального рівняння.

2. Яку назву мають інтегральні рівняння з постійною і змінною верхніми межами інтегрування?

3. Як знайти каркас наближеного розв’язку інтегрального рівняння?

4. Як підвищити точність розв’язку інтегрального рівняння при використанні числових методів?

5. Задано рівняння . Знайти його наближений розв’язок, використавши формулу трапецій, якщо , . Порівняйте отриманий результат з точним його розв’язком .

[1] Числом обумовленості матриці розміром називають величину, де через позначено норму відповідної матриці. Норма матриці це деяка скалярна величина, яка може бути визначена одним із трьох способів:

1. - максимум суми модулів елементів матриці у стовпці.

2. - квадратний корінь максимального власного значення симетричної матриці.

3. - максимум суми модулів елементів матриці у рядку.

При великих точний розв’язок системи лінійних рівнянь може суттєво змінюватись навіть при малих змінах вхідних даних. Матриця з великим називається погано обумовленою матрицею.