Несинусоидальные периодические напряжения и токи, представление их в виде тригонометрического и комплексного ряда Фурье

Если периодическая несинусоидальная функция отвечает условиям Дирихле, она может быть представлена гармоническим рядом Фурье. Ряд Фурье в тригонометрической форме имеет вид: f(t)=a0/2+ ∑(от n=1 до ∞)(an*cos(n*ω1*t)+bn*sin(n*ω1*t)), где ω1=2π/Т - угловая частота первой гармоники. Коэффициенты an и bn вычисляются по формулам: an=2/T* ∫(от -Т/2 до Т\2)f(t)*cos(n*ω1*t)dt, bn=2/T* ∫(от -Т/2 до Т\2)f(t)*sin(n*ω1*t)dt. В формулах a0/2 - постоянная составляющая, равная среднему значению функции f (t) за период: a0=1/T*∫(от -Т/2 до Т\2)f(t)dt. Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называют дискретным частотным спектром. Дискретным его называют потому, что частоты соседних гармоник отличаются друг от друга на частоту первой гармоники. Совокупность амплитуд гармоник называют амплитудным спектром, а совокупность начальных фаз – фазовым спектром. В случае если периодическая функция обладает каким-либо видом симметрии, это облегчает разложение в ряд Фурье, поскольку некоторые гармоники могут отсутствовать.

Ряд Фурье в комплексной форме: f(t)=1/2*∑(от −∞ до ∞)An*e^j*n*ω1*t. Формула имеет простую геометрическую интерпретацию. В соответствии с ней каждая гармоника может быть представлена в виде полусуммы двух векторов, вращающихся навстречу друг другу с угловой скоростью n*ω1. Амплитуды этих векторов An, а начальные фазы равны Ψn.

Совокупность комплексных коэффициентов гармоник An называют комплексным частотным спектром функции f (t). Амплитуды гармоник An образуют амплитудный спектр, а начальные фазы Ψn – фазовый спектр. Комплексный коэффициент ряда Фурье: An=2/T*∫(от -Т/2 до Т\2)f(t)*e^(-j*n*ω1*t)dt.