Методические указания и основные соотношения

 

 

2.1 Оптимальный приём двоичных сигналов. Постановка задачи

Важным показателем систем связи является помехоустойчивость, т.е. способность системы связи противостоять вредному влиянию помех.

При рассмотрении вопросов передачи и приёма двоичных последовательностей полагают, что источник дискретных сообщений вырабатывает на своём выходе последовательность двух элементов (символов) – единицы и нуля с соответствующими вероятностями их появления p (1)и p (0).

Для их передачи используют два различных сигнала S ₁(t) и S ₂(t), длительность каждого из которых равна длительности элемента последовательности Т.

На вход приёмного устройства поступает смесь переданного сигнала и помехи, т. е.

 

Z (t) = S_i (t) + x (t).

 

В курсовой работе рассматривается канал с постоянными параметрами и аддитивной помехой типа гауссовского белого шума. Такие (гауссовские) каналы являются достаточно хорошей моделью многих реальных каналов передачи цифровой информации, в частности, кабельных, оптических, радиорелейных, космических и других.

Для количественной оценки влияния помех и других факторов, вызывающих отличие принятой последовательности от переданной, вводится критерий оценки качества принятой информации. При передаче дискретных сообщений за такой критерий принимают вероятность ошибки приёма одного элемента двоичной последовательности.

Приёмник, в результате анализа принятой конкретной реализации Z (t) на интервале времени 0 £ t £ T, должен установить, какой из возможных сигналов S_i (t) (S ₁(t) или S ₂(t)) присутствует на его входе, и в соответствии с этим принять решение о приеме символа 1 или 0. Это классическая задача теории связи – задача различения двух сигналов. В случае, когда один из сигналов тождественно равен нулю (например, ДАМ), имеем задачу обнаружения сигнала в интервале времени 0 £ t £ T на фоне помех.

Для различения сигналов в приёмнике необходимо (с допустимой погрешностью) устанавливать начало и конец интервала анализа каждой реализации Z (t), поступающей на вход приёмника. Такая задача решается устройством синхронизации, которое позволяет определять начало и окончание каждого элемента сигнала (сообщения) в принятой последовательности.

Алгоритм различения двух и более сигналов на фоне белого гауссовского шума имеет ясный физический смысл: наиболее вероятным переданным сигналом считается тот сигнал, который меньше отличается (в среднеквадратичном смысле) от принятого сигнала. Таким образом, оптимальный приемник минимизирует среднюю вероятность ошибки. В аналитической форме алгоритм оптимального приёмника при равновероятных сигналах имеет вид

 

Если , то Z (t) º S ₁(t), иначе S ₂(t), (2.1)

 

т.е. решение принимается в пользу сигнала S ₁(t).

При этом считается, что все параметры сигнала в точке приёма известны, т. е. известны его форма, амплитуда, частота, задержка во времени и начальная фаза (приём полностью известных сигналов). Неизвестным в этом случае является только то, какой из возможных сигналов передаётся на данном интервале
наблюдения 0 £ t £ T.

Выражение (2.1) позволяет представить алгоритм в виде структурной схемы оптимального приёмника, т. е. решить задачу оптимального синтеза.

Для передачи элементов двоичного кода (0 или 1) обычно используются сигналы с дискретной амплитудной модуляцией (ДАМ), частотной модуляцией (ДЧМ) и фазовой модуляцией (ДФМ или ДОФМ). Для конкретного вида используемых сигналов ДАМ, ДЧМ, ДФМ алгоритм оптимального приёмника и соответствующая ему структурная схема получаются на основании общего алгоритма (2.1), при этом оптимальный приёмник должен вычислять значение функции взаимной корреляции вида

 

. (2.2)

 

Для этого используется или коррелятор, или согласованный фильтр, которые обеспечивают одинаковую помехоустойчивость, т. е. эквивалентны.

В процессе передачи элементы кода искажаются помехами, причем, наблюдаются ошибки двоякого рода:

1 При передаче элемента 0 может быть ошибочно принят элемент 1, вероятность такого события (перехода 0®1) обозначим через p (1/0) — вероятность приема 1 при передаче 0.

2 При передаче элемента 1 может быть ошибочно принят элемент 0, вероятность такого события (перехода 1®0) обозначим через p (0/1) — вероятность приема 0 при передаче 1.

Средняя вероятность ошибки определяется по формуле

 

p _ош = p (0)× p (1/0) + p (1)× p (0/1). (2.3)

 

В дальнейшем будем считать, что априорные вероятности передачи элементов кода равны, то есть p (0) = p (1) = 0,5, при этом

 

p _ош = 0,5[ p (1/0) + p (0/1)]. (2.4)

 

Помеху в канале связи будем считать флуктуационной с нормальным законом распределения мгновенных значений

 

w (x) = . (2.5)

 

Вероятность ошибки зависит: от вида модуляции, способа детектирования (когерентный, некогерентный), способа фильтрации сигналов в приёмнике (оптимальный фильтр, неоптимальный фильтр), мощности P _с (энергии E _с) сигнала, мощности P _п (спектральной плотности N ₀) помехи.

Если в приёмнике используется неоптимальный фильтр, вероятность ошибки зависит от величины отношения мощности сигнала к мощности помехи (отношение сигнал/шум по мощности) h ² = P _с / P _п.

При использовании в приёмнике оптимального фильтра вероятность ошибки определяется величиной отношения энергии элемента сигнала к спектральной плотности мощности помехи h ₀² = E _с / N ₀ = P _с T _с/ N _0.

В приёмнике с оптимальным фильтром отношение сигнал/шум больше, чем в приёмнике с неоптимальным фильтром и, соответственно, помехоустойчивость выше.

Приёмник с оптимальным фильтром и когерентным способом приёма обеспечивает потенциальную помехоустойчивость для заданного вида модуляции.

Помехоустойчивость приема сигналов ДАМ, ДЧМ, ДФМ, ДОФМ в указанных выше условиях можно определить, вычисляя среднюю вероятность ошибки следующим образом.

 

 

2.2 Дискретная амплитудная модуляция

Элементами сигналов ДАМ являются посылки (кодовый элемент «1») и паузы (кодовый элемент «0»)

 

0 £ t £ T,

где Т – длительность элемента сигнала.

 

Некогерентный прием

Прием сигнала ДАМ в этом случае осуществляется путем сравнения уровня сигнала после амплитудного детектора (детектора огибающей) с некоторым пороговым уровнем U _п решающей схемы приемника (рис. 2). Ошибки возникают в случаях:

1 При передаче посылки огибающая суммы сигнала и помехи (E _сп) оказывается меньше порогового уровня U _п (переход 1®0).

2 При передаче паузы огибающая помехи E _п оказывается больше U _п (переход 0®1).

Вероятности этих событий определяются через соответствующие распределения значений огибающих (рис. 3,а и рис 3,б)

, (2.6)

где w(E _сп ) – плотность распределения огибающей суммы сигнала и помехи, которая, как известно, определяется обобщенным законом Релея (Релея-Райса),

,

w(E _п ) – плотность распределения огибающей помехи, определяется простым законом Релея.

.

 

Средняя вероятность ошибки с учетом (2.4) и (2.6) равна

p _{ошАМнкг = 0,5} . (2.7)

 

Значение p _ош зависит от порогового уровня U _п решающей схемы. Можно показать, что вероятность ошибки минимальна, когда U _п (при a ² » s²), т.е в этом случае U _п имеет оптимальное значение. При этом окончательно получаем

 

p _{ошАМнкг} , (2.8)

где – отношение мощностей сигнала и помехи (отношение сигнал / шум), а

Ф (z)

– табулированный интеграл вероятностей.

Зависимость p _ош = f (h) при некогерентном приеме показана на рис. 5 (кривая 1).

Если h ² » 1, то

p _{ош.АМ нкг}» . (2.9)

 

Максимальная помехоустойчивость при приеме сигналов ДАМ наблюдается в том случае, если применяется оптимальная фильтрация сигналов. В этом случае необходимо в ф-ле (2.9) вместо подставить , равное

, (2.10)

где – энергия элемента сигнала,

N ₀ – спектральная плотность мощности помехи.

 

Когерентный прием

 

При когерентном приеме применяется синхронный детектор, который устраняет влияние ортогональной составляющей вектора помехи (рис. 2). Составляющая x=E _п · cosj имеет нормальный закон распределения и мощность . Поэтому вероятность искажения посылки р (0/1) и вероятность искажения паузы р (1/0) будут равны (рис. 4)

 

и ,

где w(x / a) и w(x)- плотности распределения вероятностей мгновенных значений сигналов на выходе детектора при приёме посылки и паузы соответственно

 

и .

 

Средняя вероятность ошибки будет равна

 

p _ошАМкг = 0,5 .

 

При оптимальном значении порогового уровня решающей схемы , вероятность ошибки минимальна и равна

p _ошАМкг = , (2.11)

где – отношение сигнал / шум.

Зависимость p _ошАМ = f (h) при когерентном приёме показана на рис. 6 (кривая 2).

При когерентном приеме достигается потенциальная помехоустойчивость, если в приемнике осуществить оптимальную фильтрацию сигнала. При этом достигается максимальное отношение сигнал /шум

,

и в ф-ле (2.11) h заменяется на h ₀.