Типовые задачи с решениями. Типовые задачи с решениями и для самостоятельного решения по теме «Расчет цепей постоянного тока»

Типовые задачи с решениями и для самостоятельного решения по теме «Расчет цепей постоянного тока»

Типовые задачи с решениями

Задача 1. В схеме на рисунке ключ К вначале разомкнут, а конденсатор емкостью С не заряжен. Ключ замыкают на некоторое время, в течение которого конденсатор заряжается до напряжения U. Какое количество теплоты выделится к этому моменту времени на резисторе сопротивлением R? ЭДС источника - ε, внутреннее сопротивление- r.

Решение:

Начальные заряд и энергия конденсатора q ₁=0, W ₁=0. После замыкания ключа конденсатор заряжается и в момент, когда напряжение на нем равно U, его заряд q ₂ = Cu, а энергия .

При этом на конденсатор через источник протекает заряд

Δ q=q₂-q₁=CU,

а сторонние силы источника совершают работу

А_ст = ε Δq=C ε U.

По закону сохранения энергии эта работа идет на увеличение энергии конденсатора и выделяется в виде теплоты на внутреннем сопротивлении и на резисторе R:

А_ст = ΔW+Q => Q= А_ст – ΔW= А_ст-(W₂-W₁)= C ε U - C U₂/2 = CU (ε – U / 2).

Пока происходит зарядка конденсатора, по цепи протекает изменяющийся во времени ток i(t). Однако в любой момент времени этот ток одинаков в сопротивлениях r и R.

По закону Джоуля-Ленца при одинаковом токе количество выделившейся теплоты пропорционально сопротивлению резистора. Поэтому Q_R = kR и Q_r = kr, где Q_R и Q_r – количества теплоты, выделившиеся в сопротивлениях R и r соответственно, а k – коэффициент пропорциональности.

Так как Q = Q_R+ Q_r = kR+ kr=k(R+r), то

k= Q/(R+r) => Q_R= kR= Q R /(R+r)= CU (ε – U / 2)· R /(R+r).

Ответ: Q_R= CU (ε – U / 2)· R /(R+r).

Задача 2. Определить внутреннее сопротивление аккумулятора, если известно, что при замыкании его на внешнее сопротивление R₁=1 Ом напряжения на зажимах аккумулятора U₁=2 В, а при замыкании на сопротивление R₂=2 Ом напряжение на зажимах U₂=2,4 В.

 

Дано: R1=1 Ом R1=2 Ом U1=2 В U2=2,4 В	СИ
r -?

Решение:

Напряжение на зажимах аккумулятора U- это напряжение на внешнем сопротивлении R.

По закону Ома для замкнутой цепи ε =U+Ir, где сила тока в цепи I=U/R. Используя условия задачи, составляем систему уравнений

Ответ: r=0,5 Ом.

Задача 3. Генератор мощностью P вырабатывает электроэнергию, которая передается потребителю по проводам, общее сопротивление которых равно R. Напряжение генератора U. Определить отношение мощности, выделяемой на нагрузке у потребителя, к мощности генератора. Сопротивлением генератора пренебречь.

Решение:

Провода и нагрузка подключены к генератору последовательно. Поэтому в цепи по проводам и нагрузке протекает одинаковый ток. Так как известны мощность генератора и вырабатываемое им напряжение, то

P = UI, где I – сила тока в цепи.

Следовательно, I = P/U.

Тепловая мощность, которая выделяется на проводах,

P_пр = I²R.

Мощность, которая выделяется на нагрузке у потребителя,

P_п = P – P_пр = P – I²R.

Тогда искомое соотношение:

.

Ответ: .

Задача 4. Батарея с ЭДС 9,0 В и внутренним сопротивлением r = 0,50 Ом подключена к цепи, показанной на рис. 1. а) Чему равна сила тока, потребляемого от батареи? б) Чему равно напряжение на клеммах батареи?

 

Решение:

а) Сопротивление R₁, эквивалентное параллельно соединенным резисторам 4,0 и 8,0 Ом, находим по формуле:

, откуда R₁=2,7 Ом.

Это сопротивление включено последовательно с резистором 6 Ом, и общее сопротивление нижней ветви цепи равно 6 + 2,7 = 8,7 Ом (рис. 2). Теперь найдем эквивалентное сопротивление R₂ параллельно соединенных сопротивлений 10 и 8,7Ом:

, откуда R₂=4,8 Ом.

Последовательно с ним включены резистор в 5 Ом и внутреннее сопротивление батареи 0,5 Ом, так что полное сопротивление цепи составляет R= 4,8 Ом + 5 Ом + 0,5 Ом = 10,3 Ом.

Сила тока в цепи равна: I=ε / R= 9 / 10,3 = 0,87 А.

б) Напряжение на клеммах батареи равно

U_ab= – Ir = 9 – 0,87 · 0,5 = 8,6 В.

Ответ: a) I=0,87 А; б) Uав = 8,6 В.

 

 

Задача 5. Рассчитать силы тока I₁, I₂, I₃ в ветвях цепи, показанной на рис. 3.

Решение:

Выберем направления токов, как показано на схеме. Поскольку принято считать, что ток течет от положительного полюса батареи к отрицательному, направление токов I₃ и I₂ вряд ли могут быть другими. О направлении тока I₁ сказать пока трудно, поэтому оно выбрано условно.

У нас три неизвестных, и поэтому нужна система трех уравнений. Применим вначале правило узлов Кирхгофа к токам в точке а: ток I₃ втекает в узел, а токи I₂ и I₁ вытекают из него. Следовательно,

I₃ = I₂ + I₁. (1)

Аналогичное уравнение справедливо и для узла d. Применим теперь правило контуров к двум разным замкнутым контурам; пусть первым будет контур ahdcba.

Между точками a и h происходит падение напряжения

U_ha = - I₁·30 Ом;

между h и d напряжение не меняется, а между d и c возрастает на 45 В:

U_cd = +45 В.

Между c и a происходит падение напряжения на двух резисторах на величину U_ac = -I₃ · (40 Ом + 1 Ом).

Итак, U_ha + U_cd + U_ac = 0, или

-30 · I₁ - 41 · I₃ + 45 = 0 (2)

(для краткости обозначения единиц опущены).

В качестве второго контура возьмем «внешний» контур ahdefga (с таким же успехом можно было взять контур abcdefga).

Снова U_ha = - I₁ · 30 Ом и U_dh =0.

Но дальше, перемещая положительный пробный заряд от d к e, мы будем «взбираться на горку», т.е. двигаться против направления тока (во всяком случае, против выбранного нами направления, а именно это важно при пользовании правилом Кирхгофа).

Поэтому U_ed = I₂ · 20 Ом входит в сумму с плюсом, как и

U_fe= I₂ · 1 Ом.

Между f и g происходит падение потенциала на 80 В, так как мы движемся от положительного полюса батареи к отрицательному, от более высокого потенциала к более низкому; U_fg = -80 В.

Наконец, U_ag=0, и сумма всех изменений напряжения вдоль этого контура равна

-30 · I₁ + 21 · I₂ - 80 = 0. (3)

Теперь у нас имеются три уравнения – (1), (2), (3)- с тремя неизвестными. Из уравнения (3) находим

I₂= (80+30 · I₁)/21 = 3,8 + 1,4 · I₁, (4)

Из уравнения (2) получаем:

I₃ = (45 - 30 · I₁)/41 = 1,1 – 0,73 ·I₁. (5)

Подставляя (4) и (5) в уравнение (1), находим

I₁ = I₃ – I₂ = -2,7 – 2,1 · I₁,

3,1 · I₁ = -2,7,

I₁ = -0,87 А.

Сила тока I₁ равна 0,87 А; знак минус означает, что действительное направление тока оказалось противоположным выбранному нами вначале и показанному стрелкой. Обратите внимание на то, что ответ автоматически получен в амперах, так как напряжения мы выражаем в вольтах, а сопротивления – в омах. Из уравнения (4) находим

I₂=3,8 + 1,4 ·I₁=2,6А,

а из (5) получаем

I₃ = 1,1 – 0,73 · I₁= 1,7 А.

Ответ: I₁ = -0,87 А; I₂=2,6А; I₃ = 1,7 А.