Принципы образования странных аттракторов

Математическим образом режима функционирования динамической системы служит аттрактор – предельная траектория изображающей точки в фазовом пространстве, к которой стремятся все исходные режимы.

Если система стремится к устойчивому состоянию равновесия, аттрактор системы будет просто неподвижной точкой, если это устойчивое периодическое движение – аттрактором будет замкнутая кривая, называемая предельным циклом.

Раньше считалось, что аттрактор является образом исключительно устойчивого режима функционирования системы. Сейчас же, в связи с обнаружением режима детерминированного хаоса, становится понятно, что предельной траекторией системы, находящейся в таком режиме, тоже должен быть аттрактор. Однако такой аттрактор будет иметь два существенных отличия: его траектория непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Именно эти отличия и привели к необходимости ввести новый термин – с легкой руки французского исследователя Ф. Такенса такие аттракторы стали называть странными.

Как установлено теоретиками, основным критерием странности аттрактора является неустойчивость траектории. Режимы функционирования детерминированных нелинейных систем со странными аттракторами обладают специфическими свойствами, совокупность которых включается в понятие детерминированного хаоса.

Такие системы должны быть достаточно чувствительны к "инновационным" возмущениям и реагировать на них путем коррекции "траекторий", чтобы обладать способностью к эволюции, но при этом оставаться на своем аттракторе и сохранять в целом тип поведения, свойственный данной системе. Если система теряет эти свойства, то даже значительный запас "механической прочности" может оказаться недостаточным по отношению к воздействию специфических малых динамических возмущений, и внешне благополучная система может потерять устойчивость и разрушиться.

В уравнениях динамических систем обычно присутствуют параметры — величины, которые считаются постоянными во времени, но от задания которых может зависеть характер реализующегося в системе режима. Представьте себе, что система заключена в ящик, на котором имеется несколько ручек настройки. Устанавливая ручки в различные положения, наблюдаем на выходе системы разную по характеру зависимость динамической переменной от времени — периодическую, квазипериодическую, хаотическую. Когда управляющих параметров два, очень ценное наглядное представление о поведении системы дает карта динамических режимов — диаграмма на плоскости, где по осям координат отложены два параметра, а области различных режимов динамики показаны определенным цветом (штриховкой, серыми тонами) либо обозначены границы этих областей.

Простейший по своей идее способ построения карты динамических режимов на компьютере подразумевает, что в каждой точке плоскости параметров, соответствующей элементу графического изображения (пикселю), решается численно дифференциальное уравнение или итерируется отображение, задающее динамическую систему, и производится анализ характера режима, возникающего после завершения переходного процесса. Для диагностики режимов может привлекаться вычисление старшего ляпуновского показателя: положительная величина ляпуновского показателя свидетельствует о присутствии хаоса.

Из-за того, что нелинейным системам часто присуща мультистабильность, карту динамических режимов, вообще говоря, надо представлять не как один лист, а как совокупность листов, перекрывающихся в тех областях параметров, где система имеет более одного аттрактора. На практике при построении карты динамических режимов начальные условия в каждой очередной точке пространства параметров либо задаются фиксированными, либо наследуют состояние, реализовавшееся в предыдущей точке. При этом в областях мультистабильности карта оказывается неполной, ибо на ней не представлены те режимы, для которых начальные условия не попали в бассейн притяжения аттрактора. Чтобы изучить все листы карты, требуется, вообще говоря, кропотливая работа, с испытанием различных начальных условий в каждой точке пространства параметров. Заметим, что при использовании процедуры наследования вид карты может зависеть от направления сканирования плоскости параметров.

Несмотря на эти оговорки и осложнения, карта динамических режимов, даже неполная, оказывается чрезвычайно полезным рабочим инструментом и в теоретических, и в экспериментальных исследованиях.