Граф состояний системы

Восстанавливаемая система, состоящая из элементов, может находиться в большом числе состояний. Например, один элемент системы отказал, а остальные () элемента работоспособны, или элементов отказали, а остальные () работоспособны и т.п. В процессе эксплуатации из-за отказов и восстановлений система может неоднократно переходить из одного состояния в другое. Функционирование такой системы может быть описано так называемым графом состояний, узлами которого являются состояния системы, а ветвями – возможные переходы из состояния в состояния. Как правило, узлы графа в случае работоспособного состояния системы обозначаются в виде окружностей, а в случае отказового – квадратов. Если оценка функционирования системы осуществляется до некоторого i -го состояния, например до первого её отказа, то i -е состояние считается поглощающим. Система, попавшая в i -e состояние, уже не может перейти в другое, и в графе отсутствуют ветви переходов из этого состояния.

Пример. Структурная схема нерезервированной восстанавливаемой системы представлена на рис. 6.1, где n — число элементов системы; – интенсивность отказа i -го элемента; – интенсивность восстановления i -го элемента, i= 1, 2, …, n.

	Рис. 6.1 Структурная схема нерезервированной восстанавливаемой системы

 

 

Граф состояний рассматриваемой нерезервированной восстанавливаемой системы показан на рис. 6.2, где (0) – работоспособное состояние; (1), (2), …,(n) – неработоспособные состояния системы.

	Рис. 6.2 Граф состояний нерезервированной восстанавливаемой системы

 

 

В случае отказа i -го элемента системы, согласно графу состояний, происходит переход из работоспособного состояния (0), в неработоспособное i -ое состояние с интенсивностью отказов . В свою очередь i -ый элемент системы может быть восстановлен (система возвращена в состояние (0)) с интенсивностью .

В случае анализа системы до первого отказа, состояния (1), (2), …, (n)считаются поглощающими, и система после перехода в одно из этих состояний не восстанавливается.

В данном примере интенсивности переходов не зависят от числа обслуживающих бригад, т. к. предполагается, что после возникновения отказа одного элемента вся система не работает и отказы элементов в процессе ее восстановления не возникают.

Пример. Структурная схема восстанавливаемой системы с постоянно включенным резервом представлена на рис. 6.3. Необходимо построить графы состояний данной системы для ряда случаев.

 

 

	Рис. 6.3 Структурная схема восстанавливаемой системы с постоянно включенным резервом

 

Случай обслуживания системы двумя бригадами. Граф состояний системы для данного случая показан на рис.6.4, где (0) –состояние системы, при котором оба элемента работоспособны; (1) – состояние системы, при котором первый элемент отказал и находится в ремонте, а второй работоспособен; (2) – состояние системы, при котором первый элемент работоспособен, а второй отказал и находится в ремонте; (3) – отказовое состояние системы, при котором оба элемента неработоспособны и находится в ремонте.

 

Из исходного работоспособного состояния системы (0) возможны переходы в состояние (1) с интенсивностью и в состояние (2) с интенсивностью . После восстановления элемента система может вернуться из состояний (1) или (2) в работоспособное состояние (0). Возможна ситуация, когда до момента восстановления одного отказавшего элемента откажет и другой, тогда система перейдет в неработоспособное состояние (3) с интенсивностью из состояния (1) и из состояния (2). Так как система обслуживается двумя бригадами, то в состоянии (3) оба элемента ремонтируются одновременно независимо от того, какой из них отказал первым. В случае, когда в состоянии (3) пер­воначально будет отремонтирован первый элемент система перейдет с интенсивностью в состояние (2), а если второй –- то с интенсивностью в состояние (1).

Случай обслуживания системы одной бригадой с прямым приоритетом. Граф состояний такой системы показан на рис. 6.5.

 

	Рис. 6.5 Граф состояний восстанавливаемой системы с постоянно включенным резервом для случая обслуживания одной бригадой с прямым приоритетом

 

 

В данном случае восстановление отказавших элементов осуществляется одной обслуживающей бригадой. При таком обслуживании системы в неработоспособном состоянии ремонтируется только один элемент, а второй находится в очереди на ремонт. Следовательно, исследуемая система имеет два отказовых состояния (3) и (4). Так как рассматривается случай с прямым приоритетом обслуживания, в первую очередь осуществляется ремонт того элемента, который отказал первым. То есть, в случае перехода в неработоспособное состояние системы (3) ремонтируется первый элемент и система с интенсивностью переходит в состояние (2) – работоспособности первого элемента и неработоспособности второго, в случае перехода системы в состояние (4) ремонтируется второй элемент и система с интенсивностью переходит в состояние (1) – работоспособности второго и неработоспособности первого элементов.

Случай обслуживания системы одной бригадой с обратным приоритетом. Граф состояний системы для данного случая обслуживания показан на рис. 6.6.

	Рис.6.6 Граф состояний восстанавливаемой системы с постоянно включенным резервом для случая обслуживания одной бригадой с обратным приоритетом

 

 

При обслуживании системы с обратным приоритетом, в первую очередь осуществляется ремонт последнего отказавшего элемента. В такой системе в случае её перехода в неработоспособное состояние (3) ремонтируется второй элемент и система с интенсивностью переходит в состояние (1), в случае перехода системы в состояние (4) ремонтируется первый элемент и система с интенсивностью переходит в состояние (2).

Случай обслуживания системы одной бригадой, причем первый элемент имеет высший приоритет по сравнению со вторым. Граф состояний такой системы показан на рис. 6.7.

 

	Рис. 6.7 Граф состояний восстанавливаемой системы с постоянно включенным резервом для случая обслуживания одной бригадой с наивысшим приоритетом первого элемента

 

 

В данном случае первый элемент имеет приоритет при обслуживании, поэтому в неработоспособных состояниях (3) и (4) он восстанавливается первым. Таким образом, в случае перехода системы в одно из неработоспособных состояний (3) или (4) всегда ремонтируется первый элемент и система с интенсивностью всегда переходит в состояние (2).

Из примера следует, что вид графа состояний зависит не только от структуры системы, но также от числа обслуживающих бригад и дисциплины обслуживания.

 

При анализе надежности сложных систем имеющих большое число элементов приходится просматривать множество возможных состояний системы. При этом имеет место формализация графа состояний.

Согласно формализованному способу построения, граф состояний системы состоит из совокупности уровней, каждый из которых содержит набор возможных состояний системы при отказе i -го количества элементов. То есть, при i=0 (нулевой уровень) все элементы работоспособны, при i=1 (первый уровень) один из элементов отказал, а остальные работоспособны, при i=2 (второй уровень) два любых элемента отказали, а ос­тальные работоспособны и т. д. Последний уровень графа должен полностью состоять из набора неработоспособных состояний системы.

Пример. Структурная схема системы представлена на рис. 6.8.

 

 

Необходимо построить граф состояний такой системы, предполагая, что поток отказов системы является простейшим, т.е. обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствий. Для системы установлен прямой приоритет обслуживания.

Граф состояний системы приведён на рис. 6.9.

	Рис. 6.9 Граф состояний системы, изображённой на рис. 6.8

 

 

Граф состояний системы имеет четыре уровня. На нулевом уровне находится состояние (0), которое соответствует работоспособности всех элементов системы. Из состояния (0) система может пе­рейти в состояния, когда отказал один из её элементов. Данные состояния показаны на линии первого уровня цифрами 1, 2, 3, 4 в соответствии с отказавшими элементами системы. На этой линии узел с номером 5 отсутствует, так как находится в ненагруженном резерве и будет работать только в случае отказа элемента 4. Отказ 3-го элемента приводит к отказу всей системы, в связи с чем, данный узел обозначен квадратом и из него отсутствуют переходы на узлы второго уровня. На линии второго уровня находится состояния системы соответствующие неработоспособному состоянию любых двух её элементов. Например, из состояния (1) первого уровня возможны переходы в состояния, когда вслед за отказом элемента 1 отказывает либо элемент 2, либо элемент 3, либо элемент 4. Эти состояния обозначены (1,2), (1,3) и (1,4). Из состояний (1,2) и (1,3) отсутствуют переходы в состояния третьего уровня, так как они соответствуют неработоспособному состоянию системы. В состоянии (1,4) система работоспособна, поэтому из данного состояния возможны переходы в состояния третьего уровня. Так вслед за отказами элементов 1 и 4 могут отказать элементы либо 2, либо 3, либо 5. Соответствующие состояния расположены на линии третьего уровня и обозначены (1,4,2), (1,4,3), (1,4,5). Данный уровень графа состояния будет последним, так как все его состояния приводят к неработоспособности системы. Остальные ветви перехода соответствующие отказам элементов строится аналогично.

После обозначения на графе состояний, переходов соответствующих отказам элементов ( -переходы), необходимо показать ветви соответствующие восстановлению отказавших элементов ( -переходы). Например, в случае прямого приоритета обслуживания, в состоянии третьего уровня (1,4,3) первым будет восстановлен элемент 1 и система с интенсивностью перейдет в состояние (4,3) второго уровня. В состоянии (4,3) система будет неработоспособной, поэтому, во время ремонта элемента 4, новых отказов не произойдёт. После восстановления элемента 4 система перейдет с интенсив­ностью в состояние (3) первого уровня и затем с интенсивностью в состояние (0) нулевого уровня. Остальные ветви соответствующие -переходам строятся аналогично.

Описание функционирования системы с помощью графа состояний позволяет определить все количественные характеристики надежно­сти восстанавливаемой системы.