Операции над векторами

Декартова система координат в пространстве

Основный принцип аналитической геометрии: соответствие

точка «набор чисел (координат)

Уравнение геометрического объекта (прямой, кривой, плоскости, поверхности) ¾ это такое уравнение (или система из нескольких уравнений), что

1) координаты произвольной точки объекта обращают уравнение в тождество;

2) если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит данному объекту.

Векторная алгебра

Вектор – направленный отрезок прямой, то есть пара точек пространства, одна из которых объявляется началом, а вторая концом вектора.

Такой вектор называется приложенным.

Вектор – совокупность направленных отрезков пространства, которые можно перевести друг в друга параллельным переносом.

Такой вектор называется свободным (то есть его можно рассматривать как один направленный отрезок, который можно перемещать в пространстве, так, чтобы он оставался параллельным самому себе).

Координаты свободного вектора есть координаты точки вектора , который получается из переносом начала вектора в начало координат .

Пусть , . Тогда

Длина вектора

По теореме Пифагора:

Пример. Найти длину отрезка , где , .

Операции над векторами

1) Сложение векторов (правило параллелограмма)

В координатах:

Тогда

2) Умножение на скаляр (число)

В координатах:

если , то

Деление отрезка в заданном отношении

Задача. Даны точки и . Найти координаты точки , принадлежащей отрезку и такой, что .

Имеем: ,

откуда .

Достаточно рассмотреть первую координату:

или, окончательно,

Ответ:

или

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Найти длину медианы треугольника.

Координаты середины отрезка находим по формуле деления отрезка с :

, откуда

Теперь ;

3) Скалярное произведение векторов

Пусть даны два вектора и . Сопоставим им число , называемое скалярным произведением и вычисляемое по правилу

где – угол между векторами.

Свойства скалярного произведения:

а) симметричность

б) однородность

в) аддитивность

Вычисление скалярного произведения в координатах.

Пусть и . тогда

Доказательство. Обозначим единичные базисные векторы, направленные по осям , , и через , , соответственно. Тогда , .

Заметим, что

, , ,

поскольку эти векторы единичной длины и взаимно перпендикулярны.

Используя свойства 1-3 скалярного произведения, получаем:

Рассмотрим первое слагаемое:

Точно также доказывается, что второе слагаемое равно , а третье . Ч.Т.Д.

Лекция 4

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Найти величину угла .

Имеем: ;

Запишем формулу скалярного произведения:

В координатах:

Отсюда

, , .

Критерий перпендикулярности

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Точка есть основание высоты, опущенной из вершины на сторону . Найти .

Положение точки определяется двумя векторными соотношениями. 1) Так как точка лежит на , то вектор коллинеарен вектору , то есть . 2) Поскольку – высота, то вектор перпендикулярен вектору , то есть . Вектор можно записать как сумму векторов и , то есть . Подставляя это соотношение в уравнение , получим уравнение на коэффициент :

Û ,

откуда

В координатах:

;

Теперь высота треугольника может быть найдена как длина вектора :

4) Векторное произведение векторов

Сопоставим произвольной паре векторов , третий вектор , удовлетворяющий трем условиям:

а) вектор перпендикулярен к плоскости, натянутой на вектора и ;

б) длина равна площади параллелограмма , натянутого на вектора и ;

в) если смотреть с конца стрелки вектора на плоскость, образованную векторами и , то вращение (внутри ) от к должно происходить против часовой стрелки.

Нетрудно видеть, что если векторы и независимы (то есть ), то вектор определен условиями 1-3 однозначно. Если векторы и зависимы, то можно по определению считать, что вектор равен 0. Векторное произведение векторов и обозначается как .

Свойства векторного произведения.

1) (антикоммутитивность)

2) (однородность)

3) (аддитивность)

Вычисление векторного произведения в координатах.

Даны векторы , , тогда

Доказательство основано на трех соотношениях

, ,

(которые следуют непосредственно из определения векторного произведения) и преобразовании выражения

аналогичному тому, которое было проведено при выводе формулы скалярного произведения векторов в координатах.

Ч.Т.Д.

Мнемоническая формула векторного произведения:

Пример. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

Решение. Воспользуемся вторым свойством векторного произведения: длина равна площади параллелограмма, натянутого на векторы , . Таким образом, нам нужно найти и затем положить .

Имеем: ,

5) Смешанное произведение векторов

Произвольной тройке векторов , , сопоставим число, равное и называемое смешанным произведением векторов. Обозначается смешанное произведение через . Из формулы разложения определителя по строке следует, что

Геометрический смысл смешанного произведения

Из рисунка видно, что, с точностью до знака, смешанное произведение равно объему параллелепипеда, натянутого на векторы , , :

Следствие: критерий компланарности векторов. Три вектора , , компланарны (то есть параллельны одной плоскости) тогда и только тогда когда .

Пример. Найти объем пирамиды с вершинами , , , .

Решение.

Объем пирамиды вычисляется по формуле , а объем параллелепипеда по формуле .

Следовательно, и . Остается вычислить смешанное произведение векторов . Имеем

Теперь вычисляем смешанное произведение в координатах:

Окончательно,

Аналитическая геометрия на плоскости

Векторное уравнение прямой

Пусть известны координаты некоторой точки прямой и координаты направляющего вектора . Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, то есть

с некоторым коэффициентом пропорциональности .

Параметрическое уравнение прямой.

Запишем векторное уравнение прямой в координатах:

Полученную систему называют параметрическим уравнением прямой.

Пример. Написать параметрическое уравнение прямой , где , .

Направляющий вектор прямой есть

В качестве точки на прямой возьмем точку . Подставляя эти данные в параметрическое уравнение прямой, получим

Это уравнение определяет прямую.

При получаем , , то есть это — точка . Значению отвечает точка , значению ¾ точка, находящаяся в середине отрезка . Значению отвечает точка, расположенная симметрично точке относительно .

Зная координаты произвольной точки плоскости, по параметрическому уравнению можно определить, лежит ли данная точка на прямой и, если да, то какому значению эта точка отвечает. Например, для точки получаем

Система противоречива, и точка не лежит на прямой. Для точки получаем

Û ,

откуда следует, что лежит на прямой и отвечает значению .

Каноническое уравнение прямой.

Выражая параметр из каждого уравнения параметрической системы, получим

Опуская , получим окончательно:

Пример. Дано каноническое уравнение прямой

Через какую точку и в каком направлении проходит данная прямая?

Вспомним, что в числителе в каноническом уравнении стоит точка прямой, а в знаменателе – ее направляющий вектор. Таким образом, , .

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно прямой .

Уравнение любой прямой начинается с выписывания шаблона

В числитель следует подставить координаты какой-либо точки прямой, а в знаменатель – координаты направляющего вектора. Точка известна - , поэтому:

Направляющий вектор должен быть перпендикулярен прямой , и, в частности, перпендикулярен ее направляющему вектору . Воспользуемся критерием перпендикулярности векторов и подберем вектор , скалярное произведение которого с вектором равно 0. Самый простой способ – взять в качестве вектор (то есть переставить координаты и изменить знак у одной из координат). Таким образом, каноническое уравнение искомой прямой имеет вид

Общее уравнение прямой.

В каноническом уравнении избавимся от знаменателей и перенесем все члены по одну сторону от знака равенства. Имеем:

Переобозначая коэффициенты полученного уравнения, получим ,

где , , .

Отметим, что направляющий вектор прямой равен и, следовательно, равен .

Скалярное произведение вектора с направляющим вектором равно 0, поэтому - вектор нормали к прямой.

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Написать уравнение высоты .

Решение. Уравнение высоты имеет вид

Здесь – вектор нормали к . В частности, , поэтому .

Остается найти константу , для чего подставим в данное уравнение координаты точки . Получаем

откуда , и уравнение прямой имеет вид .

Приведенное уравнение прямой.

Рассмотрим общее уравнение прямой , и в случае выразим переменную через остальные члены уравнения. .

После переобозначений получаем так называемое приведенное уравнение прямой .

Геометрический смысл коэффициента

в приведенном уравнении.

Пусть для простоты , .

Рассмотрим угол , образованный прямой и положительным направлением оси абсцисс. Из рисунка видно, что

Таким образом, есть тангенс угла наклона прямой к оси .

Угол между прямыми.

Пусть заданы две прямые и . Задача – найти угол между ними.

Из рисунка видно, что

где , .

Воспользуемся формулой

Отсюда

Окончательный ответ:

В частности, если угол составляет , то . Это возможно, если . Получаем критерий перпендикулярности прямых.

Лекция 1.6

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Написать уравнение биссектрисы .

Решение. Найдем приведенные уравнения прямых , . Для имеем точку , и направляющий вектор , откуда следует каноническое уравнение прямой

Û .

Аналогично, для имеем точку и направляющий вектор , откуда каноническое уравнение прямой имеет вид

Û .

Напишем приведенное уравнение биссектрисы в общем виде:

Найдем сначала из приведенных уравнений прямых и , а затем из уравнений и . Получаем:

, ,

откуда

Û Û ,

и, следовательно,

, Û .

Одно из значений , а именно (это видно из рисунка), отвечает биссектрисе смежного угла с углом . Поэтому . Остается определить значение в уравнении биссектрисы . Подставляя координаты точки , получим

Û .

Ответ: .

Аналитическая геометрия в пространстве

Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве определяется произвольной точкой на ней и направлением, которое задается произвольным вектором, параллельным данной прямой.

Условие, что точка лежит на данной прямой, в векторной форме запишется в виде условия коллинеарности векторов и :

Запишем данное равенство покоординатно, получим параметрическое уравнение прямой.

Выражая из каждого из трех уравнений системы, получим каноническое уравнение прямой:

Пример. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. Направляющий вектор прямой – это вектор

Подставляя в шаблон канонического уравнения в числитель координаты точки , а в знаменатель - координаты вектора соответственно, получим:

Первое уравнение плоскости.

Предположим, что нам известны координаты некоторой точки плоскости и координаты двух неколлинеарных векторов, параллельных данной плоскости.

Тогда условие, что точка лежит в данной плоскости сводится к условия, что три вектора: , и параллельны этой плоскости, или, иначе, эти три вектора компланарны. Критерием компланарности векторов было равенство нулю их смешанного произведения:

В координатной записи это дает первое уравнение плоскости:

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , и .

Решение. Найдем два вектора, параллельных плоскости .

В качестве точки плоскости подставим уравнение координаты точки . Получим

Раскрывая определитель по первой строке, получим:

откуда

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим окончательно:

Второе уравнение плоскости.

Пусть заданы координаты некоторой точки плоскости и координаты вектора , перпендикулярного к плоскости.

Теперь условие, что точка лежит в данной плоскости, сводится к взаимной перпендикулярности векторов и :

Переходя к координатной записи, получим:

Это – второе уравнение плоскости.

Пример. Дана точка и прямая

Написать уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

Решение. Направляющий вектор прямой является одновременно перпендикуляром к плоскости . Поэтому

откуда .

В качестве приложения выведем формулу для расстояния от точки до плоскости. Пусть дана точка и плоскость . Требуется определить расстояние от до .

Решение. Выпишем уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно к плоскости . Затем найдем координаты точки - точки пересечения прямой и плоскости . После этого расстояние от до найдем как длину вектора .