Декартова система координат в пространстве
Основный принцип аналитической геометрии: соответствие
точка «набор чисел (координат)
Уравнение геометрического объекта (прямой, кривой, плоскости, поверхности) ¾ это такое уравнение (или система из нескольких уравнений), что
1) координаты произвольной точки объекта обращают уравнение в тождество;
2) если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит данному объекту.
Векторная алгебра
Вектор – направленный отрезок прямой, то есть пара точек пространства, одна из которых объявляется началом, а вторая концом вектора.
Такой вектор называется приложенным.
Вектор – совокупность направленных отрезков пространства, которые можно перевести друг в друга параллельным переносом.
Такой вектор называется свободным (то есть его можно рассматривать как один направленный отрезок, который можно перемещать в пространстве, так, чтобы он оставался параллельным самому себе).
Координаты свободного вектора есть координаты точки вектора , который получается из переносом начала вектора в начало координат .
Пусть , . Тогда
.
Длина вектора
По теореме Пифагора:
,
.
Пример. Найти длину отрезка , где , .
,
.
Операции над векторами
1) Сложение векторов (правило параллелограмма)
В координатах:
Тогда
2) Умножение на скаляр (число)
В координатах:
если , то
Деление отрезка в заданном отношении
Задача. Даны точки и . Найти координаты точки , принадлежащей отрезку и такой, что .
Имеем: ,
откуда .
Достаточно рассмотреть первую координату:
Û
или, окончательно,
,
Ответ:
или
Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Найти длину медианы треугольника.
Координаты середины отрезка находим по формуле деления отрезка с :
, откуда
Теперь ;
.
3) Скалярное произведение векторов
Пусть даны два вектора и . Сопоставим им число , называемое скалярным произведением и вычисляемое по правилу
где – угол между векторами.
Свойства скалярного произведения:
а) симметричность
б) однородность
в) аддитивность
Вычисление скалярного произведения в координатах.
Пусть и . тогда
.
Доказательство. Обозначим единичные базисные векторы, направленные по осям , , и через , , соответственно. Тогда , .
Заметим, что
, , ,
, , ,
поскольку эти векторы единичной длины и взаимно перпендикулярны.
Используя свойства 1-3 скалярного произведения, получаем:
Рассмотрим первое слагаемое:
Точно также доказывается, что второе слагаемое равно , а третье . Ч.Т.Д.
Лекция 4
Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Найти величину угла .
Имеем: ;
Запишем формулу скалярного произведения:
.
В координатах:
,
,
Отсюда
, , .
Критерий перпендикулярности
Û
Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Точка есть основание высоты, опущенной из вершины на сторону . Найти .
Положение точки определяется двумя векторными соотношениями. 1) Так как точка лежит на , то вектор коллинеарен вектору , то есть . 2) Поскольку – высота, то вектор перпендикулярен вектору , то есть . Вектор можно записать как сумму векторов и , то есть . Подставляя это соотношение в уравнение , получим уравнение на коэффициент :
Û ,
откуда
.
В координатах:
;
;
;
;
;
Теперь высота треугольника может быть найдена как длина вектора :
.
4) Векторное произведение векторов
Сопоставим произвольной паре векторов , третий вектор , удовлетворяющий трем условиям:
а) вектор перпендикулярен к плоскости, натянутой на вектора и ;
б) длина равна площади параллелограмма , натянутого на вектора и ;
в) если смотреть с конца стрелки вектора на плоскость, образованную векторами и , то вращение (внутри ) от к должно происходить против часовой стрелки.
Нетрудно видеть, что если векторы и независимы (то есть ), то вектор определен условиями 1-3 однозначно. Если векторы и зависимы, то можно по определению считать, что вектор равен 0. Векторное произведение векторов и обозначается как .
Свойства векторного произведения.
1) (антикоммутитивность)
2) (однородность)
3) (аддитивность)
Вычисление векторного произведения в координатах.
Даны векторы , , тогда
.
Доказательство основано на трех соотношениях
, ,
(которые следуют непосредственно из определения векторного произведения) и преобразовании выражения
,
аналогичному тому, которое было проведено при выводе формулы скалярного произведения векторов в координатах.
Ч.Т.Д.
Мнемоническая формула векторного произведения:
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами , , .
Решение. Воспользуемся вторым свойством векторного произведения: длина равна площади параллелограмма, натянутого на векторы , . Таким образом, нам нужно найти и затем положить .
Имеем: ,
,
.
5) Смешанное произведение векторов
Произвольной тройке векторов , , сопоставим число, равное и называемое смешанным произведением векторов. Обозначается смешанное произведение через . Из формулы разложения определителя по строке следует, что
Геометрический смысл смешанного произведения
Из рисунка видно, что, с точностью до знака, смешанное произведение равно объему параллелепипеда, натянутого на векторы , , :
.
Следствие: критерий компланарности векторов. Три вектора , , компланарны (то есть параллельны одной плоскости) тогда и только тогда когда .
Пример. Найти объем пирамиды с вершинами , , , .
Решение.
Объем пирамиды вычисляется по формуле , а объем параллелепипеда по формуле .
Следовательно, и . Остается вычислить смешанное произведение векторов . Имеем
,
,
.
Теперь вычисляем смешанное произведение в координатах:
Окончательно,
Аналитическая геометрия на плоскости
Векторное уравнение прямой
Пусть известны координаты некоторой точки прямой и координаты направляющего вектора . Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, то есть
с некоторым коэффициентом пропорциональности .
Параметрическое уравнение прямой.
Запишем векторное уравнение прямой в координатах:
Полученную систему называют параметрическим уравнением прямой.
Пример. Написать параметрическое уравнение прямой , где , .
Направляющий вектор прямой есть
.
В качестве точки на прямой возьмем точку . Подставляя эти данные в параметрическое уравнение прямой, получим
Û
Это уравнение определяет прямую.
При получаем , , то есть это — точка . Значению отвечает точка , значению ¾ точка, находящаяся в середине отрезка . Значению отвечает точка, расположенная симметрично точке относительно .
Зная координаты произвольной точки плоскости, по параметрическому уравнению можно определить, лежит ли данная точка на прямой и, если да, то какому значению эта точка отвечает. Например, для точки получаем
Û
Система противоречива, и точка не лежит на прямой. Для точки получаем
Û ,
откуда следует, что лежит на прямой и отвечает значению .
Каноническое уравнение прямой.
Выражая параметр из каждого уравнения параметрической системы, получим
Û
Опуская , получим окончательно:
Пример. Дано каноническое уравнение прямой
Через какую точку и в каком направлении проходит данная прямая?
Вспомним, что в числителе в каноническом уравнении стоит точка прямой, а в знаменателе – ее направляющий вектор. Таким образом, , .
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно прямой .
Уравнение любой прямой начинается с выписывания шаблона
В числитель следует подставить координаты какой-либо точки прямой, а в знаменатель – координаты направляющего вектора. Точка известна - , поэтому:
Направляющий вектор должен быть перпендикулярен прямой , и, в частности, перпендикулярен ее направляющему вектору . Воспользуемся критерием перпендикулярности векторов и подберем вектор , скалярное произведение которого с вектором равно 0. Самый простой способ – взять в качестве вектор (то есть переставить координаты и изменить знак у одной из координат). Таким образом, каноническое уравнение искомой прямой имеет вид
.
Общее уравнение прямой.
В каноническом уравнении избавимся от знаменателей и перенесем все члены по одну сторону от знака равенства. Имеем:
Û
Û
Переобозначая коэффициенты полученного уравнения, получим ,
где , , .
Отметим, что направляющий вектор прямой равен и, следовательно, равен .
Скалярное произведение вектора с направляющим вектором равно 0, поэтому - вектор нормали к прямой.
Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Написать уравнение высоты .
Решение. Уравнение высоты имеет вид
Здесь – вектор нормали к . В частности, , поэтому .
.
Остается найти константу , для чего подставим в данное уравнение координаты точки . Получаем
откуда , и уравнение прямой имеет вид .
Приведенное уравнение прямой.
Рассмотрим общее уравнение прямой , и в случае выразим переменную через остальные члены уравнения. .
После переобозначений получаем так называемое приведенное уравнение прямой .
Геометрический смысл коэффициента
в приведенном уравнении.
Пусть для простоты , .
Рассмотрим угол , образованный прямой и положительным направлением оси абсцисс. Из рисунка видно, что
.
Таким образом, есть тангенс угла наклона прямой к оси .
Угол между прямыми.
Пусть заданы две прямые и . Задача – найти угол между ними.
Из рисунка видно, что
,
где , .
Воспользуемся формулой
.
Отсюда
.
Окончательный ответ:
.
В частности, если угол составляет , то . Это возможно, если . Получаем критерий перпендикулярности прямых.
.
Лекция 1.6
Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Написать уравнение биссектрисы .
Решение. Найдем приведенные уравнения прямых , . Для имеем точку , и направляющий вектор , откуда следует каноническое уравнение прямой
Û
Û .
Аналогично, для имеем точку и направляющий вектор , откуда каноническое уравнение прямой имеет вид
Û
Û .
Напишем приведенное уравнение биссектрисы в общем виде:
.
Найдем сначала из приведенных уравнений прямых и , а затем из уравнений и . Получаем:
, ,
откуда
Û Û ,
и, следовательно,
, Û .
Одно из значений , а именно (это видно из рисунка), отвечает биссектрисе смежного угла с углом . Поэтому . Остается определить значение в уравнении биссектрисы . Подставляя координаты точки , получим
Û .
Ответ: .
Аналитическая геометрия в пространстве
Прямая в пространстве.
Прямая в пространстве определяется произвольной точкой на ней и направлением, которое задается произвольным вектором, параллельным данной прямой.
Условие, что точка лежит на данной прямой, в векторной форме запишется в виде условия коллинеарности векторов и :
.
Запишем данное равенство покоординатно, получим параметрическое уравнение прямой.
Выражая из каждого из трех уравнений системы, получим каноническое уравнение прямой:
Пример. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .
Решение. Направляющий вектор прямой – это вектор
.
Подставляя в шаблон канонического уравнения в числитель координаты точки , а в знаменатель - координаты вектора соответственно, получим:
.
Первое уравнение плоскости.
Предположим, что нам известны координаты некоторой точки плоскости и координаты двух неколлинеарных векторов, параллельных данной плоскости.
Тогда условие, что точка лежит в данной плоскости сводится к условия, что три вектора: , и параллельны этой плоскости, или, иначе, эти три вектора компланарны. Критерием компланарности векторов было равенство нулю их смешанного произведения:
.
В координатной записи это дает первое уравнение плоскости:
.
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , и .
Решение. Найдем два вектора, параллельных плоскости .
,
.
В качестве точки плоскости подставим уравнение координаты точки . Получим
Раскрывая определитель по первой строке, получим:
,
откуда
.
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим окончательно:
Û
Второе уравнение плоскости.
Пусть заданы координаты некоторой точки плоскости и координаты вектора , перпендикулярного к плоскости.
Теперь условие, что точка лежит в данной плоскости, сводится к взаимной перпендикулярности векторов и :
.
Переходя к координатной записи, получим:
.
Это – второе уравнение плоскости.
Пример. Дана точка и прямая
.
Написать уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно к прямой .
Решение. Направляющий вектор прямой является одновременно перпендикуляром к плоскости . Поэтому
,
откуда .
В качестве приложения выведем формулу для расстояния от точки до плоскости. Пусть дана точка и плоскость . Требуется определить расстояние от до .
Решение. Выпишем уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно к плоскости . Затем найдем координаты точки - точки пересечения прямой и плоскости . После этого расстояние от до найдем как длину вектора .
Имеем:
откуда
.
В частности, если - координаты точки , то они удовлетворяют уравнению плоскости
,
откуда
.
После приведения подобных слагаемых получим:
.
Следовательно, вектор имеет координаты
Остается о