Зависимые и независимые случайные события. Теорема умножения вероятностей (доказать)

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

Событие А называется независимым от события B, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

- критерий независимости событий

События А и В называются независимыми тогда, когда Р(АВ) = Р(А)*Р(В)

Вероятность события А, вычисляемая при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью Р(А/В)=P(AB)/P(B).

Свойства условных вероятностей.

Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.

0 £Р(А/В) £ 1, т.к. ; АВ Ì В, Р(АВ) £ Р(В)

Р(А/А)=1

ВÌА, èР(А/В)=1

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.

Док-во:

P(AB)=l/n; P(A)=m/n; P(B/A)=l/m; l/n=m/n * l/m => P(AB)=P(A)*P(B/A)

Следствия:

Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А

Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P(AB)=P(A)*P(B)