Аксіоматичний метод у математиці

Перелік «Семи мудреців»

Склад Семи мудреців» в різних джерелах змінюється, додатково ж він налічує 17 імен у різних комбінаціях. Проте перший список мудреців навів Платон у своєму діалозі «Протагор» (4 ст. до н.е.):

§ Піттак з Мітіліні, острів Лесбос;

§ Солон Афінський;

§ Клеовул з Лінда, острів Родос;

§ Біас Приєнський;

§ Місон Хенейський;

§ Фалес Мілетський;

§ Хілон зі Спарти.

 

11. Вчення про буття(Мілетська школа)

Мілетська школа (іонійська школа натурфілософії) — (давньогрецька) філософська школа, заснована Фалесом у Мілеті, одному з міст Іонії, у першій половині VI ст. до н.е. Представлена Фалесом, Анаксимандром йАнаксименом.

Найдавніша з відомих нам філософських шкіл виникла в м. Мілет, розташованому в Іонії (Мала Азія). Засновником її вважається Фалес, (сер. VІ ст. до н.е.). Він стверджував, що першоосновою світу є вода, з якої все виникає і в яку все перетворюється. Учень Фалеса Анаксимандр (VI ст. до н.е.) піднявся до думки про абстрактний характер першооснови. За принцип всіх принципів, початок всіх початків він прийняв " апейрон ", тобто безмежне. Він підкреслив відсутність у першооснови визначеної якості. Безпочатковий, без’якісний, безмежний апейрон уявляється як початок усього іншого, визначеного в початку, часі та просторі. Узагальнюючи матеріальне, Анаксімандр підійшов до філософської ідеї безкінечності, що складається з ідей безмежності (відсутності просторових меж) і вічності (відсутності часових меж ). Анаксимен (585-525 рр. до н.е.) бачив основу світу в повітрі, Але пошуки першооснови серед природних стихій заводили в логічній тупик - першооснова не може бути частиною природи, оскільки те, що пояснюється (тобто природа), точніше її частина, не може бути принципом пояснення, яким має бути першооснова.

12. Філософське вчення Геракліта Ефеського.

Гераклі́т Ефе́ський (дав.-гр. Ἡράκλειτος ὁ Ἐφέσιος) — грецький філософ-досократик. Єдиний відомий твір — «Про природу». Автор відомих виразів: «Усе плине, усе змінюється»(дав.-гр. Παντα ρει και ουδεν μενει) ^[1][2] та «Не можна двічі ввійти в одну і ту саму ріку».

За деякими даними, саме в працях Геракліта вперше фіксується поняття космополіта - громадянина космополії (всесвітнього града, всесвітнього суспільства), громадянина всесвіту.

Досягнення

Гераклітові належить філософський прозовий твір «Про природу» (не плутати з однойменною працею Анаксімандра). Виклад думок у цьому творі затемнений стилістично загадковістю, тому ідеї його не цілком чіткі, темні (недарма Геракліта називали «темним»). Проте мова Геракліта, на відміну від Анаксімена, проста й невимушена, багата метафорами і порівняннями, значно міфологізована. Дослідники відзначають, що у Геракліта міфо­логії більше, ніж у мілетських філософів.

У вченні Геракліта основою наук вважається логос. Саме Геракліт вперше вводить у філософську термінологію це поняття, яке у нього означає загальний закон буття, основу світу. Геракліт стверджує: все здійснюється за логосом, який є вічним, загальним і необхідним; вища мета пізнання — пізнання логоса, а разом з тим пізнання вищої єдності світобудови і досягнення вищої мудрості, бо ознака муд­рості — здатність погодитися з твердженням логосу, що все єдине. При цьому Геракліт вказує, що пізнання логосу та мудрості дається не всім, хоча всі люди від природи розумні.

Розуміння логосу як об'єктивного закону світобудови, як принципу порядку і міри приводить Геракліта до відкриття субстанційно-генетичного начала всього існуючого у вогні. Вогонь у Геракліта є не тільки те, що лежить в основі всього існуючого, але й те, з чого все виникає. «Все існуюче, — вказує Геракліт, — завжди було, є і буде вічно живим вогнем, який з часом то спалахує яскравіше, сильніше, то згасає». Логос у Геракліта — це закон Всесвіту. Згідно з цим зако­ном, все абсолютно змінне, у світі нічого не повторюється, все минуще і одноразове — «все тече».

Геракліт — один із перших філософів, хто помітив, що одне й те саме є водночас відмінне і навіть протилежне. Він вказував, що суттєва зміна — це зміна в свою протилежність, що одна протилежність вияв­ляє цінність іншої, а суперечливість зближує протилежності. Гераклітівський вогнелогос притаманний не тільки всій світобудові, а й людині, її душі. Душа має при цьому два аспекти: речово-натуральний і психічно-розумовий. Завдяки тому, що душа вогняна, вона має самозростаючий логос. У соціальній філософії Геракліта закладаються основи демократії. Він підкреслює, що народ у державі вище за все і має ставити закон, він має боротися за нього, як за свій власний дім. Це необхідно робити тому, що всі людські закони живляться від єдиного божественного закону — логосу.

13.Філософія піфагорійців.

відомою філософською школою, що існувала у західній частині Великої Греції, тобто в Південній Італії, є школа піфагорійців. Її засновником є видатний філософ і математик Піфагор, який, за відомостями Діогена Лаертського, написав три книги: «Про виховання», «Про справи общини» та «Про природу». Значну увагу Піфагор і його учні приділяли розвитку математики, правда, не в сучасному її розумінні. Якщо в сучасних умовах математика — це наука, то для піфагорійців — це мистецтво. Але, незважаючи на особливе сприйняття математики, внесок піфагорійців у розвиток математики не піддається сумніву.

Справедливо стверджувати, що піфагорійці заклали основи теорії чисел і принципи арифметики. Інтерес, з яким Піфагор і його послідовники вивчали характер чисел та відносини між ними, привів їх до певної абсолютизації чисел, містики чисел. Піфагорійці вважали, що числа — це фундамент світу, реальна суть речей, що все існуюче реально є таким в силу певних, у кожному випадку дуже конкретних числових показників. А той чи інший предмет виконує своє призначення лише тому, що кількість у ньому співвіднесена саме так, а не інакше. Якщо змінити числові показники, буде інший предмет. Виходило, що число є першооснова всього сущого. У чому ж тут помилка? Помилка в тому, що піфагорійці однобічно перебільшували, абсолютизували важливий бік процесу пізнання — вимірність об'єктів за допомогою чисел. Більше того, піфагорійці відривали абстрактні поняття — числа — від людського мислення, вважаючи, що ідеї у формі чисел — справжня суть усіх пізнавальних навколишніх об'єктів.

14. Вчення про рух(Елейська школа)

Еле́йська шко́ла — давньогрецька філософська школа, що виникла в місті Елея на півдні Італії у 6-7 століттях до н. е. Головними її представниками були Ксенофан, Парменід, Зенон Елейський, Мелісс Самоський, Горгій.

На відміну від мілетської та піфагорійської традицій розглядати дійсність як узгодження, єднання протилежностей елеати аргументовано критикують усі вчення, де визнається рухома, мінлива першооснова речей. Елеати обґрунтовують поняття про незмінну сутність істинного буття, позірність усіх помітних змін та відношень між речами, бо в іншому випадку будь-яке вчення про ту чи іншу річ стає простою марою, жодне знання не є опорою ані в теорії, ані в практичному житті.

Елейська школа вперше розрізнила мислення (і мислиме буття) та чуттєві дані (і буття, що сприймається чуттєво), виділила буття як поняття про реальність. Завдяки цьому вперше був здійснений поділ між поняттям і тим, що воно позначає, поняття стає окремим предметом дослідження. Елеати змогли сформулювати поняття єдності, єдиного буття як неперервного, незмінного, неподільного цілого, однаково присутнього в усіх елементах чуттєво даної дійсності.

Поняття «буття» стало одним з головних для класифікації відомої реальності, для побудови перших логічно обґрунтованих систем знання за принципом поєднання відомих уявлень у висловлювання, які не суперечать одне одному. Здійснені перші спроби аналізу понять, що використовувалися філософами, призвели до відкриття феномену обмеженості, суперечливості понять. Так, відомі апорії Зенона засвідчили, що поняття «єдине — множинне», «обмежене — необмежене» та інші неспроможні відобразити дійсність, яку за своїми визначеннями вони повинні відображати. Завдяки цьому відкриттю постала проблема створення нових понять, більш придатних для пізнанняКосмосу. Передусім — це проблема відображення засобами логіки зміни, руху, процесів

15. Атомістична філософія Демокріта.

Демокріт (Демокрит) Абдерський (грецькою: Δημόκριτος) (приблизно 460—370 pоки до н. е.), давньогрецький філософ-матеріаліст, засновник атомістичної гіпотези пояснення світу.

Демокріт народився в місті Абдери у Фракії. Він багато мандрував світом, вивчив філософські та натурфілософські ідеї різних народів (Єгипет, Вавилон, Персія, Індія, Ефіопія).

Вчення про атоми

Демокріт розвинув вчення про атоми свого вчителя філософа Левкіппа, що є головним досягненням демокрітової філософії.

Демокріт приходить до ідеї неподільних атомів, які можуть бути різної конфігурації: гачкоподібні, якореподібні, кутасті, вигнуті тощо.

За Демокрітом фізичні атоми неподільні, але подумки в них можна виділити певні частини – точки, які не мають ваги і які не можна від атомів відторгнути. Це – уявна частина атома – „амера” (та, що не має частин). Згідно з деякими свідченнями (серед них є опис так званої „площі Демокріта” у Джордано Бруно), у найдрібнішому атомі було 7 амер: верхня, нижня, ліва і права, передня і задня, серединна. Це була математика, узгоджена з даними чуттєвого сприйняття, які говорили, що, яким би малим не було фізичне тіло - наприклад, невидимий атом, - точки частини (сторони) у ньому завжди можна уявити, ділити нескінченно навіть подумки неможливо.

Аксіоматичний метод у математиці

У методології Демокріта уперше в історії пізнання системно використаний раніше недостатньо чітко усвідомлюваний аксіоматичний метод. Концепція математичного атомізму Демокріта логічно послідовно витікала з атомізму фізичного і підтверджувала правомірність усієї системи теоретичної математики. У межах цієї концепції було отримано багато видатних результатів, серед яких особливо слід зазначити заслуги Демокріта як одного з фундаторів методу нескінченно малих.

За легендою Платон настільки не любив Демокріта, що звелів спалити всі його книги.

16. Філософія Софістів.

Софісти — давньогрецькі мудреці 5-4 століть до н. е., які були мандрівними експертами з різних предметів, включаючи ораторське мистецтво, граматику, етику, літературу, математику, та елементарну фізику. Вони не формували якусь певну школу, але мали певні спільні інтереси. У філософії вони атакували тлумачення реальності елейців і намагалися пояснити феноменальний світ. Їхня освітня програма базувалася на віруванні, що чесноту можна навчити. Через їхнього противника Платона, вони набули поганої слави — філософських шахраїв, зацікавленіших в грошах і престижі аніж у правді. У римський період термін софіст означав просто вчителя риторики.

Слово «софізм» означає міркування, побудовані таким чином, що містять навмисне допущену помилку і, звичайно, приводять до хибних висновків. Часто диспути софістів перетворювалися на безрезультатні суперечки, звідки й одіозне значення софіст — людина (оратор), яка готова за допомогою будь-яких прийомів захищати певні тези, не враховуючи об'єктивну істинність чи хибність цих тез.