2018-01-21
888
Большинство финансовых решений связано с учетом стоимости денег во времени. Поэтому для любого предприятия важно правильно оценивать денежные потоки, т.е. определять величины их стоимости. Для этого в финансовом менеджменте применяют несколько моделей.
1) Модель простых ссудных процентов.
Данная модель используется при наращении первоначальной суммы капитала. Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идет движение денежного потока от настоящего к будущему.
Величина S показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины P при заданном уровне интенсивности начисления процентов i. При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги) определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов.
Из определения процентов не трудно заметить, что проценты (процентные деньги) представляют собой, по сути, абсолютные приросты:
I = S - P, (2.1.)
а поскольку база для их начисления является постоянной, то за ряд лет общий абсолютный прирост составит их сумму или произведение абсолютных приростов на количество лет ссуды:
I = (S - P) n = [(S - P) / P * P ] n = i * P * n, (2.2.)
где i = (S - P) / P по определению процентной ставки.
Таким образом, размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины инвестированной суммы, от уровня процентной ставки и от срока финансовой операции.
Тогда наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом:
S = P + I = P + i * P * n = P (1 + i * n) = P * kн, (2.3.)
где kн – коэффициент (множитель) наращения простых процентов.
Данная формула называется «формулой простых процентов».
Поскольку коэффициент наращения представляет собой значение функции от числа лет и уровня процентной ставки, то его значения легко табулируются. Таким образом, для облегчения финансовых расчетов можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты наращения по простым процентам.
Пример. Сумма в размере 2'000 рублей дана в долг на 2 года по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.
Решение:
Наращенная сумма:
S = P (1 + n * I) = 2000 (1 + 2 * 0,1) = 2400 руб.
Или
S = P * kн = 2000 * 1,2 = 2400 руб.
Сумма начисленных процентов:
I = P * n * I = 2000 * 2 * 0,1 = 400 руб.
или
I = S – P = 2400 – 2000 = 400 руб.
Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2400 рублей, из которой 2000 рублей составляет долг, а 400 рублей – «цена долга».
Следует заметить, что подобные задачи на практике встречаются редко, поскольку к простым процентам прибегают в случаях:
- выдачи краткосрочных ссуд, т.е. ссуд, срок которых либо равен году, либо меньше его, с однократным начислением процентов;
- когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются.
В тех случаях, когда срок ссуды менее года, происходит модификация формулы:
а) если срок ссуды выражен в месяцах (M), то величина n выражается в виде дроби:
n = M / 12, (2.4.)
тогда все формулы можно представить в виде:
S = P (1 + M / 12 * i); (2.5.)
I = P *M / 12 * i; (2.6.)
kн = 1 + M / 12 * i. (2.7.)
Пример. Изменим условия предыдущего примера, снизив срок долга до 6 месяцев.
Решение:
Наращенная сумма:
S = P (1 + М / 12 * i) = 2'000 (1 + 6/12 * 0,1) = 2100 руб.
или
S = P * kн = 2'000 * 1,05 = 2100 руб.
Сумма начисленных процентов:
I = P * М / 12 * i = 2'000 * 6/12 * 0,1 = 100 руб.
или
I = S - P = 2100 - 2000 = 100 руб.
Таким образом, через полгода необходимо вернуть общую сумму в размере 2100 рублей, из которой 2000 рублей составляет долг, а проценты – 100 рублей.
б) если время выражено в днях (t), то величина n выражается в виде следующей дроби:
n = t / T, (2.8.)
где t – число дней ссуды, т.е. продолжительность срока, на который выдана ссуда;
T – расчетное число дней в году (временная база).
Отсюда модифицированные формулы имеют следующий вид:
S = P (1 + t / T * i); (2.9.)
I = P * t / T * i; (2.10.)
kн = 1 + t / T * i. (2.11.)
Здесь возможны следующие варианты расчета. Временную базу (T) можно представить по-разному:
- условно состоящую из 360 дней. В этом случае речь идет об обыкновенном (ordinary interest), или коммерческом проценте;
- взять действительное число дней в году (365 или 366 дней). В этом случае получают точный процент (exact interest).
Число дней ссуды (t) также можно по-разному определять:
- условно, исходя из того, что продолжительность любого целого месяца составляет 30 дней, а оставшиеся дни от месяца считают точно, – в результате получают так называемое приближенное число дней ссуды;
- используя прямой счет или специальные таблицы порядковых номеров дней года, рассчитывают фактическое число дней между датами, – в этом случае получают точное число дней ссуды.
Таким образом, если время финансовой операции выражено в днях, то расчет простых процентов может быть произведен одним из трех возможных способов:
- Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды, или, как часто называют, «германская практика расчета», когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а целого месяца – за 30 дней. Этот способ обычно используется в Германии, Дании, Швеции.
- Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, или «французская практика расчета», когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю. Этот способ имеет распространение во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии.
- Точные проценты с точным числом дней ссуды, или «английская практика расчета», когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по календарю. Этот способ применяется в Португалии, Англии, США.
Пример. Сумма 2 млн. руб. положена в банк 18 февраля невисокосного года и востребована 25 декабря того же года. Ставка банка составляет 35% годовых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления.
Решение:
1. Германская практика начисления простых процентов:
Временная база принимается за 360 дней, T = 360.
Количество дней ссуды:
t = 11 (февраль) + 30 (март) + 30 (апрель) + 30 (май) + 30 (июнь) + 30 (июль) + 30 (август) + 30 (сентябрь) + 30 (октябрь) +
+ 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) - 1 = 305 дней
Сумма начисленных процентов:
I = P * t / T * i = 2000000 * 305/360 * 0,35 = 593055,55 руб.
2. Французская практика начисления процентов:
Временная база принимается за 360 дней, T = 360.
Количество дней ссуды:
t = 11 (февраль) + 31 (март) + 30 (апрель) + 31 (май) + 30 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) +
+ 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) - 1 = 310 дней
Сумма начисленных процентов:
I = P * t / T * i = 2000000 * 310/360 * 0,35 = 602777,78 руб.
3. Английская практика начисления процентов:
Временная база принимается за 365 дней, T = 365.
Количество дней ссуды берется точным, t = 310 дней.
Сумма начисленных процентов:
I = P * t / T * i = 2'000'000 * 310/365 * 0,35 = 594'520,55 руб.
Как видно, результат финансовой операции во многом зависит от выбора способа начисления простых процентов. Поскольку точное число дней в большинстве случаев больше приближенного числа дней, то и проценты с точным числом дней ссуды обычно получаются выше процентов с приближенным числом дней ссуды.
Для определения срока финансовой сделки используют следующий механизм. Если срок определяется в годах, то
n = (S - P) / (P * i), (2.12.)
а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:
t = [(S - P) / (P * i)] * T. (2.13.)
Пример. На сколько дней можно дать в долг 1000 долларов, исходя из 8% годовых, если возвращенная сумма будет составлять 1075 долларов?
Решение:
Исходя из формулы срока долга для простых процентов, следует:
для обычных процентов
t = [(S - P) / (P * i)] * T =
= [(1'075 - 1'000) / (1'000 * 0,08) * 360 = 338 дней;
для точных процентов
t = [(S - P) /(P * i)] * T =
= [(1'075 - 1'000)/(1'000 * 0,08) * 365 = 342 дня.
Таким образом, сумма в 1'000 долларов может быть предоставлена на срок в 342 дня, если в условиях финансовой операции будет использован термин «точные проценты», а по умолчанию или использованию термина «обыкновенные проценты», срок ссуды сокращается до 338 дней.
Необходимость определения уровня процентной ставки возникает в тех случаях, когда она в явном виде в условиях финансовой операции не участвует, но степень доходности операции по заданным параметрам можно определить, воспользовавшись следующими формулами:
i = (S - P) /(P * n) = [(S - P) / (P * t)] * T. (2.14.)
Пример. В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме 1'200 долларов, при первоначальной сумме долга 1'150 долларов. Определить доходность операции для кредитора в виде процентной ставки.
Решение:
Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу «обыкновенного процента», поскольку в условиях сделки нет ссылки на «точный процент»:
i = [(S - P) / (P * t)] * T =
= [(1'200 - 1'150) / (1'150 * 120)] * 360 = 0,13
Таким образом, доходность финансовой операции составит 13% годовых, что соответствует весьма высокодоходной финансовой операции, т.к. обычно доходность подобных операций колеблется от 2% до 8%.
2) Модель сложных ссудных процентов.
В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
- проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
- срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:
– за один период начисления:
S = P + I = P + P * i = P * (1 + i); (2.15.)
– за два периода начисления:
S = (P + I) * (1 + i) = P * (1 + i) * (1 + i) = P * (1 + i)2; (2.16.)
отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:
S = P * (1 + i) n = P * kн, (2.17.)
где S – наращенная сумма долга;
P – первоначальная сумма долга;
i – ставка процентов в периоде начисления;
n – количество периодов начисления;
kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.
Эта формула называется формулой сложных процентов. Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
(1 + i). (2.18.)
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:
(1 + i) n. (2.19.)
Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы.
Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i.
При краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.
При любом i,
если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i) n;
если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i) n;
если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i) n.
Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:
- более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
- более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
- обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
Пример. Сумма в размере 2'000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента, равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.
Решение:
Наращенная сумма
S = P * (1 + i) n = 2'000 * (1 + 0'1)2 = 2'420 долларов
или
S = P* kн = 2'000 * 1,21 = 2'420 долларов,
где kн = 1,21
Сумма начисленных процентов
I = S - P = 2'420 - 2'000 = 420 долларов.
Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2'420 долларов, из которой 2'000 долларов составляет долг, а 420 долларов – «цена долга».
Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.
В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:
- общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:
S = P * (1 + i) n, (2.20.)
при этом
n = a + b, (2.21.)
где n – период сделки;
a – целое число лет;
b – дробная часть года.
- смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:
S= P * (1 + i) a * (1 + bi). (2.22.)
Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i) a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.
Пример. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.
Решение:
Общий метод:
S = P * (1 + i) n = 250 * (1 + 0,095)2,9 = 320,87 тыс. долларов.
Смешанный метод:
S = P * (1 + i) a * (1 + bi) =
= 250 * (1 + 0,095)2 * (1 + 270/360 * 0,095) =
= 321,11 тыс. долларов.
Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят:
I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. долларов,
а по смешанному методу:
I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов.
Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.
3) Модель эквивалентных ставок
Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.
Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.
Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.
Классическим примером эквивалентности являются номинальная (i) и эффективная (j) ставки процентов:
i = (1 + j / m) m - 1. (2.23.)
j = m [(1 + i)1 / m - 1]. (2.24.)
Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.
Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.
Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.
Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?
Решение:
Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:
j = m [(1 + i)1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25)1/2 - 1] = 0,23607.
Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:
j = m [(1 + i)1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25)1/12 - 1] = 0,22523.
Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.
При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:
простая процентная ставка:
i = [(1 + j / m) m • n - 1] / n; (2.25.)
сложная процентная ставка:
. (2.26.)
Пример. Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант.
Решение:
Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:
i = [(1 + j / m) m n - 1] / n = [(1 + 0,2 / 2)2 • 4 - 1] / 4 = 0,2859.
Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов.
Находим эквивалентную сложную ставку процентов для простой ставки по формуле (2.26.):
j = 
= 0,1864.
Таким образом, процентная ставка 18,64% годовых с полугодовым начислением процентов ниже 20% годовых с полугодовым начислением процентов, то первый вариант выгоднее.
4) Модели дисконтирования по простым и сложным ставкам.
В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (S) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (P).
Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount):
D = S – P. (2.27.)
Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину. Не редко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину P называют приведенной (современной или текущей) величиной S. Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.
Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.
Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:
- математическое дисконтирование по процентной ставке;
- банковский учет по учетной ставке.
Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:
- в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:
i = (S - P) / P; (2.28.)
- в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:
d = (S - P) / S. (2.29.)
Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипативными, а по учетной ставке – декурсивными.
Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке.
Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки (i) позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму.
Для простых процентов модель математического дисконтирования формализовано выглядит следующим образом:
P = S / (1 + n *) = S * 1 / (1 + n * i) =
= S * (1 + n * i) -1 = S * kд, (2.30.)
где kд – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов.
Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты.
Пример. Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга.
Решение:
Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:
P = S * 1 / (1 + t / T * i) =
= 310'000 * 1 / (1 + 150 / 360 * 0,08) = 300'000 руб.
P = S * kд = 310'000 * 0,9677419 = 300'000 руб.
Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней – 10 тыс. руб.
Для сложных процентов модель математического дисконтирования формализовано выглядит следующим образом:
P = S * (1 + i) - n = S * kд, (2.31.)
где kд – дисконтный множитель для сложных процентов.
Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид:
P = S * (1 + j / m) -m n. (2.32.)
Пример. Через два года фирме потребуется деньги в размере 30 млн. руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 25% годовых, чтобы через 2 года получить требуемую сумму?
Решение:
Поскольку срок финансовой операции составляет более года, что используем формулу приведения для сложных процентов:
P = S * 1 / (1 + i) n =
= 30'000'000 * 1 / (1 + 0,25)2 = 19'200'000 руб.
или
P = S * kд = 30'000'000 * 0,6400000 = 19'200'000 руб.
Таким образом, фирме следует разместить на счете 19'200'000 руб. под 25% годовых, чтобы через два года получить желаемые 30'000'000 руб.
Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.
Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.
Для расчета дисконта используется учетная ставка:
- простая учетная ставка:
D = S - P = S * n * d = S * t / T * d, (2.33.)
где n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.
Отсюда:
P = S - S * n * d = S * (1 - n * d), (2.34.)
где (1 - n * d) – дисконтный множитель.
Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.
Пример. Вексель выдан на 5'000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учел его в банке 19 августа по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта.
Решение:
Для определения суммы при учете векселя рассчитываем число дней, оставшихся до погашения обязательств:
t = 13 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 17 (ноябрь) - 1 = 90 дней.
Отсюда, определяемая сумма:
P = S * (1 - t / T * d) = 5'000 * (1 - 90 / 360 * 0,08) = 4'900 руб.
Тогда дисконт составит:
D = S - P = 5'000 - 4'900 = 100 руб.
или
D = S * t / T * d = 5'000 * 90 / 360 * 0,08 = 100 руб.
Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4'900 руб., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 руб.
- сложная учетная ставка:
P = S * (1 - d) n. (2.35.)
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.
Пример. Определить величину суммы, выдаваемую заемщику, если он обязуется вернуть ее через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учетной ставки 30%.
Решение:
Используя формулу дисконтирования по сложной учетной ставке, определяем:
P = S * (1 - d) n = 55'000 * (1 - 0,3)2 = 26'950 руб.
Заемщик может получить ссуду в размере 26'950 руб., а через два года вернет 55 тыс. руб.
Объединение платежей можно производить и на основе учетной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолидированного платежа рассчитывается по следующей формуле:
Soб = ΣS j * (1 - d * tj) -1, (2.36.)
где tj – интервал времени между сроками векселей.
Пример. Вексель на сумму 10 тыс. руб. со сроком погашения 10.06, а также вексель на сумму 20 тыс. руб. со сроком погашения 01.08 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяется учетная ставка 25%. Определить сумму консолидированного векселя.
Решение:
Для использования формулы консолидированного платежа необходимо определить срок пролонгации векселей:
t 1 = 21 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1 (октябрь) - 1 = 113 дней,
t 2 = 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1(октябрь) - 1 = 61 день.
Тогда, сумма консолидированного векселя:
So = Σ Sj * (1 - d * tj) -1 = 10'000 * (1 - 113 / 360 * 0,25) -1 + 20'000 * (1 - 61 / 360 * 0,25) -1 = 31'736 руб.
Таким образом, сумма консолидированного векселя с датой погашения 01.10 составит 31'736 руб.
В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке:
P 2 = P 1 * (1 + n 1 * i) * (1 - n 2 * d), (2.37.)
где P 1 – первоначальная сумма долга;
P 2 – сумма, получаемая при учете обязательства;
n 1 – общий срок платежного обязательства;
n 2 – срок от момента учета до погашения.
Пример. Обязательство уплатить через 100 дней сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на нее точными процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней до срока погашения по учетной ставке 25%. Определить сумму, полученную при учете обязательства.
Решение:
Следует обратить внимание на различие временных баз, используемых при наращении и учете:
P 2 = P 1 * (1 + n 1 * i) * (1 - n 2 * d) = 50'000 * (1 + 100 / 365 * 0,4) * (1 - 25 / 360 * 0,25) = 54'516 руб.
Следовательно, сумма, получаемая при учете данного обязательства, составит 54'516 руб.
5) Модель финансовой ренты.
До сих пор мы рассматривали случаи финансовых операций, состоящих из отдельного разового платежа, например, получение и погашение долгосрочной ссуды. Вместе с тем, погашение такой ссуды возможно не только единовременным платежом, но множеством распределенных во времени выплат. В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.
Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т.п.
Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.
Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.
При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:
член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;
период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;
срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;
процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.
Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки.
В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют:
- годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;
- срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.
По числу начислений процентов различают:
- ренты с начислением 1 раз в год;
- ренты с начислением m раз в год;
- непрерывное начисление.
По величине членов ренты могут быть:
- постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;
- переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.
По числу членов ренты они бывают:
- с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;
- с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.
По вероятности выплаты ренты делятся на:
- верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;
- условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.
По методу выплаты платежей выделяют:
- обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);
- ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).
Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег.
Наращенная сумма ренты – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.
Рис. 2.1. Логика финансовой операции наращения финансовой ренты
Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i).
Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:
(2.38.)
где FVA – наращенная сумма ренты;
R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;
i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;
n – срок ренты в годах,
s n;i – коэффициент наращения ренты.
Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.
Решение:
Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.
Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:
Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами, содержащими коэффициенты наращения ренты:
FVA = R * s 5; 30 = 500 * 9,0431 = 4'521,55 руб.
Сумма взносов в течение 5 лет составит:
P = n * R = 5 * 500 = 2'500 руб.
Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:
I = FVA - P = 4'521,55 - 2'500 = 2'021,55 руб.
Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2'021,55 руб.
Для овладения математическим инструментарием финансового менеджмента важно не столько запоминание формул, сколько общих принципов расчета.
Для определения наращенной суммы на конец рассматриваемого периода последовательно присоединяются промежуточные результаты наращения к очередному платежу.
Рассмотрим поэтапное решение предыдущего примера:
Таблица 2.2.
Расчет наращенной величины аннуитета
| Период | Взносы | Проценты, начисленные за период | Наращенная сумма на конец периода |
| 500,00 | - | 500,00 | |
| 500,00 | 150,00 | 1150,00 | |
| 500,00 | 345,00 | 1995,00 | |
| 500,00 | 598,50 | 3093,50 | |
| 500,00 | 928,05 | 4521,55 |
Таким образом, получается такая же сумма, как и по формуле наращения аннуитета. Однако рассматриваемая формула используется только при начислении процентов один раз в год, но возможны случаи и неоднократного начисления процентов в течение года, тогда используют следующую формулу:
(2.39.)
где j – номинальная ставка процентов.
Пример. Рассмотрим предыдущую задачу, изменив условия: проценты начисляются поквартально.
Решение:
В этом случае рента с начислением процентов 4 раза в год, а общее количество начислений составит 20 раз. Отсюда сумма всех взносов с начисленными на них процентами будет равна:
Отсюда сумма начисленных процентов будет равна:
I = FVA - P = 4'840,76 - 2'500,00 = 2'340,76 руб.
Как видим, переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил как наращенную сумму, так и сумму процентов.
Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:
(2.40.)
Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m. Тогда формула, по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:
(2.41.)
На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.
Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.
Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:
(2.42.)
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:
(2.43.)
Помимо наращенной суммы обобщающей характеристикой потока платежей является современная величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.
В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.
Рис. 2.2. Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей
В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна:
|
(2.44.)
Дробь в формуле – коэффициент приведения ренты (an;i), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i) и от числа лет (n).
Пример. Определить по данным предыдущего примера современную величину ренты.
Решение:
Современная величина ренты составит:
Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 1'217,78 руб.
При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:
а) наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:
|
(2.45.)
Пример. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.
Решение:
В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:
|
Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4'568 руб.
б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:
|
(2.46.)
Пример. Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга.
Решение:
Известна современная величина долга, отсюда:
|
Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2'504,56 руб.
Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять:
FV = 10'000 * (1 + 0,08)5 = 14'693,28 руб.
Наращенная сумма для потока платежей размером 2'504,56 руб. составит:
|
Следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно. Незначительное расхождение вызвано округлением расчетов.
Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путем умножения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения.
Если денежные поступления осуществляются достаточно длительное время и их число заранее не может быть известно, то такой поток называется бессрочным аннуитетом или вечной рентой. В этом случае определение будущей величины такого аннуитета не имеет смысла.
Для данного вида финансовой ренты имеет смысл только характеристика современной величины потока платежей. Поток, даже с неограниченным числом платежей все же имеет конечную приведенную стоимость, поскольку с финансовой точки зрения, деньги, поступающие через много лет, сейчас практически ничего не стоят.
Для бессрочного аннуитета постнумерандо формула современной величины принимает следующий вид:
|
(2.47.)
При больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной величины срочного аннуитета можно пользоваться формулой бессрочного аннуитета, поскольку полученный приблизительный результат не слишком будет отличаться от точного значения, т.к. при сроке более 40-50 лет коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга.
Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется из приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо, скорректированного на коэффициент (1 + i), т.е. отличается на величину первого платежа.
Если промежутки между последовательными поступлениями являются бесконечно малой величиной, то такой аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью.
При начислении непрерывных процентов для получения формул определения наращенной или современной величины потока платежей необходимо перейти к пределу, откуда:
- наращенная величина потока платежей
|
(2.48.)
где σ – сила роста.
- современная величина потока платежей
|
(2.49.)
6) Модели финансовых расчетов в условиях инфляции
Очень важно в финансовых расчетах учитывать фактор инфляции. Инфляция – это экономическое явление, которое возникает вследствие целого комплекса как политических, так и социально-экономических событий. Уровень инфляции выступает обобщающим показателем финансово-экономического положения страны.
Инфляция – устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Инфляция – многомерное и многоаспектное явление, которое можно классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением инфляции является повышение общего уровня цен, т.е. совокупный рост цен на товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную единицу приходится меньше товаров, т.е. деньги обесцениваются.
Если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.
Темпы инфляции определяются с помощью индекса – относительного показателя, характеризующего среднее изменения уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за данный период времени.
Индекс инфляции показывает во сколько раз выросли цены (Jτ), а уровень инфляции показывает, насколько процентов возросли цены (τ), т.е. по своей сути это соответственно темп роста и темп прироста:
Jτ = 1 + τ. (2.50.)
Для оценки уровня инфляции используется система индексов цен.
Индекс потребительских цен (ИПЦ) – это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI – Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.
Индекс потребительских цен дает достаточно обобщенную характеристику инфляции, так как потребление является завершающим этапом в создании валового продукта, и здесь находят свое отражение все предыдущие стадии производства.
Расчет ИПЦ в России осуществляется за каждый месяц и нарастающим итогом с начала года (к декабрю прошлого года).
Отечественные исследователи часто расценивают уровень инфляции как темп прироста потребительских цен:
τ = ИПЦ - 100 (%). (2.51.)
В зависимости от уровня инфляции в год выделяют:
- нормальную (ползучую) – от 3% до 10%;
- галопирующую – от 10% до 100%;
- гиперинфляцию – свыше 50% в месяц.
Еще одним важным показателем международной статистики, оценивающим инфляцию, является дефлятор валового внутреннего продукта, который характеризует изменение стоимостного объема ВВП за счет его ценностного фактора. Дефлятор ВВП также дает обобщенную характеристику инфляции, поскольку характеризует движение цен на потребительском рынке, а также на рынке инвестиционных товаров и услуг.
Для характеристики инфляции могут применяться и другие показатели: размер эмиссий, сокращение товарных запасов и т.п.
Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Таким образом, формула для исчисления наращенной суммы с учетом влияния инфляции, принимает следующий вид:
S = P (1 + i) n / (1 + τ) n. (2.52.)
Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.
Поскольку ставка доходности (i) является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а показатель инфляции (τ) является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы.
Пример. Пусть ежемесячный уровень инфляции 2,5%. Определить ожидаемый уровень инфляции за квартал.
Решение:
Индекс инфляции за месяц:
J τ = 1 + τ = 1 + 0,025 = 1,025.
Индекс инфляции за квартал, т.е. за три месяца:
J τ = (1 + τ)3 = 1,0253 = 1,077.
Уровень инфляции за квартал:
τ = J τ - 1 = 1,077 - 1 = 0,077.
Следовательно, ожидаемый квартальный уровень инфляции составит 7,7%.
Следует отметить, что показатели финансовой операции могут быть представлены, как:
- номинальные, т.е. рассчитанные в текущих ценах;
- реальные, т.е. учитывающие влияние инфляции, и рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода.
Пример. Определить реальные результаты вкладной операции для суммы 5'000 руб., размещенной на полгода под 8% годовых, если ежемесячный уровень инфляции составляет 2%.
Решение:
Наращенная сумма вклада:
S = P (1 + ni) = 5'000 (1 + 0,5 * 0,08) = 5'200,00 руб.
Индекс инфляции за срок хранения вклада составит:
J τ = (1 + 0,02)6 = 1,126
Реальная сумма вклада:
S τ = 5'200 / 1,126 = 4'618,11 руб.
Следовательно, наращенная величина по своей покупательной способности с учетом инфляции будет соответствовать сумме 4'618,11 руб., т.е. меньше первоначальной суммы.
Владельцы денег не могут мириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности.
Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, поскольку:
- если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (τ = i), то реального роста денежных сумм не будет, т.к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;
- если уровень инфляции выше уровня процентной ставки (τ > i),то происходит «проедание» капитала, и реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;
- если уровень инфляции ниже процентной ставки (τ < i), то это будет соответствовать росту реальной денежной суммы.
В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента, т.е. ставки с поправкой на инфляцию (i τ).
Общая формула для определения простой ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:
iτ = [(1 + n i) * Jτ - 1] / n, (2.53.)
где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка);
i τ – процентная ставка с поправкой на инфляцию.
Пример. Банк выдал клиенту кредит на один год в размере 20 тыс. руб. по ставке 6% годовых. Уровень инфляции за год составил 18%. Определить с учетом инфляции реальную ставку процентов по кредиту, погашаемую сумму и сумму процентов за кредит.
Решение:
Номинальная наращенная сумма:
S = P (1 + n i) = 20'000 (1 + 0,06) = 21'200,00 руб.
Номинальные начисленные проценты:
I = S - P = 21'200 - 20'000 = 1'200,00 руб.
Реальная наращенная сумма:
Sτ = S / (1 + τ) = 21'200 / 1,18 = 17'966,10 руб.
Реальные проценты:
Iτ = Sτ - P = 17'966,10 - 20'000 = -2'033,90 руб.
Таким образом, получен убыток от данной финансовой операции в размере 2'033,90 руб.
Ставка по кредиту с учетом инфляции должна быть равна:
iτ = [(1 + n i) * I τ - 1] / n = (1,06 * 1,18 - 1) / 1 = 0,2508.
Наращенная сумма:
S = P (1 + n i) = 20'000 (1 + 0,2508) = 25'016,00 руб.
Доход банка:
I = S - P = 25'016 - 20'000 = 5'016,00 руб.
Реальный доход банка:
Iτ = Sτ - P = 25'016 / 1,18 - 20'000 = 1'200,00 руб.
Реальная доходность финансовой операции:
i = Iτ / P = 1'200 / 20'000 = 0,06
Таким образом, чтобы обеспечить доходность в размере 6% годовых, ставка по кредиту с учетом инфляции должна соответствовать 25,1% годовым.
Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле Фишера:
iτ = i + τ + iτ. (2.54.)
Пример. Определить номинальную ставку процентов для финансовой операции, если уровень эффективности должен составлять 7% годовых, а годовой уровень инфляции 22%.
Решение:
Процентная ставка с учетом инфляции
iτ = i + τ + iτ = 0,07 + 0,22 + 0,07 * 0,22 = 0,3054.
Таким образом, номинальная ставка составляет 30,54% при реальной ставке 7%.
Для расчета номинальной ставки можно использовать следующую модель (2.57.), из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.
|
(2.55.)
При начислении процентов несколько раз в год
|
(2.56.)
Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.
На практике довольно часто довольствуются сравнением i и τ путем вычисления реальной ставки, т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:
i = (i - τ) / (1 + τ). (2.57.)
Пример. Определить реальную ставку при размещении средств на год под 35% годовых, если уровень инфляции за год составляет 30%.
Решение:
Определяем реальную ставку:
i = (0,35 - 0,2) / (1 + 0,2) = 0,125.
Таким образом, реальная ставка 12,5% годовых.<
