Методичні вказівки до завдання

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ (169 ГРУПА)

ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ №4

ВЕКТОРИ

(Ключ до завдань:

номера прикладів для виконання визначаються в залежності від порядкового номера в списку групи)

Завдання. В задачах 1.1-1.16 задані координати вершин піраміди ABCD в прямокутній декартовій системі координат. Знайти:

1) координати векторів і обчислити довжини цих векторів;

2) кут між векторами та в радіанах;

3) проекцію вектора на вектор ;

4) площу грані АВС;

5) об`єм піраміди ABCD та її висоту DН;

6) кут нахилу бічного ребра АD до площини основи (АВС);

7) кут нахилу бічної грані (АDС) до площини основи (АВС).

Всі обчислення виконати з точністю до двох десяткових знаків.

1.1 А(-4;6;1) В(1;4;1) С(2;2;-3) D(0;4;3)

1.2 A(1;7;-3) В(4;2;4) С(-3;-1;0) D(-1;2;-1)

1.3 A(8;-1;3) В(3;1;3) С(-4;0;5) D(0;2;3)

1.4 A(-5;7;2) В(-2;1;0) С(1;-3;0) D(-2;1;3)

1.5 A(2;6;-1) В(3;2;-3) С(-4;0;0) D(1;0;2)

1.6 A(0;-1;-4) В(6;-3;2) С(2;0;-1) D(2;0;3)

1.7 A(2;-2;-4) В(0;1;4) С(3;-3;1) D(-5;4;7)

1.8 A(9;3;-6) В(0;3;-5) С(-4;5;1) D(7;-3;8)

1.9 A(-7;4;1) В(-2;1;3) С(0;-2;1) D(5;-1;-1)

1.10 A(-2;2;-1) В(4;0;3) С(-3;6;1) D(6;-3;7)

1.11 A(5;-1;7) В(-3;-2;0) С(-3;0;-5) D(6;2;3)

1.12 A(-4;4;-1) В(0;4;1) С(-1;5;3) D(-1;-2;1)

1.13 A(5;-2;7) В(-4;2;0) С(-1;5;5) D(2;-1;8)

1.14 A(8;-6;1) В(0;-5;-1) С(-4;3;1) D(-5;7;-2)

1.15 A(4;-3;1) В(-4;6;0) С(-2;2;1) D(9;-1;-2)

1.16 A(-5;1;-3) В(-4;0;3) С(-1;2;2) D(1;-1;1)

Методичні вказівки до завдання.

Розв’язання задачі.

Дано координати вершин піраміди: , , , .

Побудуємо схематичний малюнок піраміди, не прив’язуючись до системи координат .

1. Довільний вектор можна записати в системі орт за слідуючою формулою: (1)

- проекції вектора на координатні осі , та ; - одиничні вектори, які направлені так, як направлені осі , та . Якщо задані точки та , то проекції вектора на координатні осі знаходяться за формулами:

(2)

Тоді:

(3)

Підставляючи в (3) координати точок та , одержимо вектор :

Аналогічно, підставляючи в (3) координати точок та , знаходимо вектор :

Підставляючи в (3) координати точок та , одержимо вектор :

Отже знайдені вектори , , мають такі координати:

Якщо вектор задано формулою (1), або (3), то його модуль (довжина) обчислюється за формулою:

Застосовуючи цю формулу, обчислюємо модулі знайдених векторів , , :

2. Так як скалярний добуток двох векторів , дорівнює добутку їх довжин, помноженому на косинус кута мім ними, тобто:

то косинус кута між двома векторами , дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на добуток їх модулів:

(4)

Якщо координати векторів-співмножників відомі , то їх скалярний добуток можна знайти за формулою:

(5)

Знаходимо скалярний добуток векторів за формулою (5):

Отже за формулою (4) дістанемо:

3. Проекція вектора на знаходиться за формулою:

звідки

Отже проекція вектора на дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на модуль вектора :

(лін. од.)

4. Площа грані дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах . Позначимо векторний добуток вектора на вектор через вектор :

Тоді, виходячи з геометричного змісту модуля векторного добутку двох векторів, величина модуля вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах , а площа грані буде чисельно дорівнювати половині модуля вектора :