2017-10-25
2054Тема: Бинарные отношения.
Цели:
1..
Оснащение урока: конспект лекций, дидактический материал, раздаточный материал.
Формируемые компетенции: ОК 1;ОК 2;ОК 3;ОК 4;ОК 7;ОК 9.
Теоретические сведения
Декартовым произведением двух множеств называется 
.
Бинарным отношением между множествами А и В называется всякое подмножество их декартового произведения.
Бинарное отношение – множество, состоящее из двоек чисел.
Если 
тогда бинарным отношением между А и В будет 2mn.
Среди всех бинарных отношений выделяют две и дают им следующие названия:
1. универсальное бинарное отношение – состоит из всех элементов множества 
.
2. нулевое бинарное отношение – не содержит ни одного элемента и совпадает с пустым множеством.
Бинарным отношением на множестве А называется любое подмножество 
Обратным бинарным отношением к бинарному отношению Р называется множество Р-1: 
.
Свойства бинарных отношений:
1) Бинарное отношение Р на множестве А называется рефлексивным, если для любого элемента х множества А, двойка чисел 
.
2) Бинарное отношение Р называется симметричным, если из того что двойка чисел 
следует, что 
.
Бинарное отношение Р называется антисимметричным если из того, что двойка чисел и следует, что 
.
3) Бинарное отношение называется транзитивным, если из того, что и 
следует, что 
.
4) Бинарное отношение Р называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Упражнения
1. Найдите область определения рr 1 
и область значений рr 2 каждого из следующих отношений, заданных на множестве
А = {1; 2; 3;...,10} 
N, и укажите, какими свойствами оно обладает:
1) а 
b <=> а - b = 8;
2) а b <=> b = а 2;
3) а b <=> аb = 12;
4) а b <=> b > а 2.
2. На множестве А = {3; 5; 7; 9; 11} 
N задано отношение x > у. Выпишите все пары элементов, находящиеся в этом отношении.
2.На множестве М = {–8; –6; –4; –2; 0; 2; 4} Z задано отношение : x у <=> число x кратно числу у. Запишите множество , перечислив все его элементы. Принадлежит ли пара (– 4;– 4)? Найдите (2), (–8), (0). Найдите -1(4), -1(–6), -1(0). Что значит отношение х 
у? Найдите (–4), 
(–2).
6. Множество М членов семьи Смирновых состоит из отца (Ивана Михайловича), матери (Елены Андреевны) и четырёх детей: Миши, Тани, Васи и Оли. Между членами семьи существуют отношения родства, которые можно выразить словами: «быть мужем», «быть братом» и т. д.
а) укажите всевозможные отношения на множестве М;
б) запишите отношения «быть дочерью» с указанием всех его элементов и построить граф этого отношения;
в) постройте графы отношений «быть братом», «быть матерью».
3. Класс выставил на соревнования по плаванию команду мальчиков. В нее входили: Витя, Коля, Андрей и Саша. Коля проплыл дистанцию быстрее Андрея, но медленнее Саши, Андрей затратил на ту же дистанцию времени больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как распределились места на соревнованиях.(3адачу решите с помощью построения графа соответствующего бинарного отношения).
4. М – множество озер Канады. На М задано бинарное отношение «иметь одинаковый объем воды». Будет ли это отношение эквивалентностью?
5. Класс выставил на соревнования по плаванию команду мальчиков. В нее входили: Витя, Коля, Андрей и Саша. Коля проплыл дистанцию быстрее Андрея, но медленнее Саши, Андрей затратил на ту же дистанцию времени больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как распределились места на соревнованиях.(3адачу решите с помощью построения графа соответствующего бинарного отношения).
6. М – множество озер Канады. На М задано бинарное отношение «иметь одинаковый объем воды». Будет ли это отношение эквивалентностью?
Индивидуальные задания
1. На множестве N для каждого из следующих отношений найдите область определения рr1 и область значений рr2 и укажите, какими свойствами оно обладает:
1) х у 
НОД (х; у) = 1;
2) х у у < 2 х;
3) х у х = у 2;
4) х у х ≤ у;
5) х у у - х = 12;
6) х у | у - х | = 12;
7) х у (х - у): 3;
8) х у х у = 30;
9) х у х < у + 1;
10) х у у = 2 х + 1.
2. Будет ли заданное отношение эквивалентностью на указанном множестве:
1) «иметь одинаковую высоту» (на множестве гор в Европе);
2) «находиться на одинаковой высоте над уровнем моря» (для всех населенных пунктов Тибета);
3) «иметь одинаковую протяженность» (для всех рек России);
4)«иметь одинаковую загрязненность санитарной зоны предприятия» (для всех предприятий Смоленска);
5) «иметь численность населения не менее 5000 человек» (для всех населенных пунктов Подмосковья);
6) «иметь одинаковую степень риска извержения» (для всех вулканов Земли);
7) «иметь общую границу» (для всех государств Европы);
8) «иметь общие экономические интересы на Ближнем Востоке» (для всех государств – членов ООН);
9) «иметь одинаковую глубину» (для всех ущелий Кавказа);
10) «быть равноудаленными от Москвы» (на множестве городов России).
