Сравнение двух независимых выборок

U - критерий Манна-Уитни

Критерий предназначен для проверки гипотезы о статистической однородности двух независимых выборок, т.е. для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n ₁, n ₂³ 3 или n ₁= 2, n ₂³ 5 (n ₁и n ₂ – объёмы выборок). В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений: n ₁, n ₂ £ 60.

Критерий Манна-Уитни основан на попарном сравнении результатов из первой и второй выборок.

Проверяются следующие гипотезы:

H ₀: уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

H ₁: уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Схема применения критерия Манна-Уитни

1. Объединить вместе значения для обеих групп по степени нарастания признака.

2. Проранжировать значения, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов (n ₁+ n ₂).

3. Подсчитать сумму рангов значений первой выборки и сумму рангов значений второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм.

4. Определить значение U_набл. по формуле:

где: n ₁, n ₂ - объёмы выборок 1 и 2; - большая из двух ранговых сумм; n_x - объём выборки с большей суммой рангов.

5. Определить критические значения U_кр. для заданных n ₁, n ₂ и уровня значимости a по таблице. Если U_набл. > U_кр., то H ₀принимается. Если U_набл. £ U_кр., то H ₀ отвергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Пример 3. Две группы выпускников двух высших учебных заведений (1 и 2) (в первой группе 9 человек, во второй -10), получили оценки своих административных способностей в баллах.

1 вуз: 26; 23; 19; 21; 14; 18; 29; 17; 12.

2 вуз: 16; 10; 8; 3; 24; 20; 7; 15; 9; 22.

С помощью критерия Манна-Уитни при уровне значимости a £ 0,05 проверить нулевую гипотезу о том, группа выпускников первого вуза не превосходит группу выпускников второго вуза по уровню административных.

Последовательность выполнения

Сформулируем гипотезы:

H ₀: Группа выпускников первого вуза не превосходит группу выпускников второго вуза по уровню административных способностей (т.е. различия незначимы).

H ₁: группа выпускников первого вуза превосходит группу выпускников второго вуза по уровню административных способностей. (В данном случае H ₁ является направленной).

Введём исходные данные в ячейки A2:A10 (показатели выпускников 1 вуза) и в ячейки B2:B11 (показатели выпускников 2 вуза).

В ячейках C2:C20 составим объединенную выборку и выпоним ранжирование. Для этого в ячейку D2 введём формулу =РАНГ(C2,$C$2: $C$20;1) и протянем её до ячейки D20.

В ячейки F7 и F8 введём объемы выборок, а в ячейку F9 - объём объединённой выборки.

В ячейках F10 и F11 рассчитаем суммы рангов элементов каждой из выборок по формулам:

=СУММ(D2:D10) и =СУММ(D11:D20).

Получим результаты: 112 и 78.

Выполним проверку правильности ранжирования, вычислив общую сумму рангов, и сравним её с суммой рангов, найденной по формуле:

В ячейку F13 введём формулу = F10+F11. Получим результат: 190. В ячейку F14 введём формулу =F9*(F9+1)/2. Получим результат: 190. Следовательно, ранги приписаны правильно.

Находим большую из двух ранговых сумм = 112 (соответствует первой выборке n ₁= 9), т. е. n_x = 9. Запишем эти значения в ячейки F15 и F16.

Находим наблюдаемое значение критерия. В ячейку F17 введём формулу =F7*F8+F15*(F15+1)/2-F16. Получим результат: 23.

Находим критическое значение критерия. По таблице определяем критическое значение в случае направленной альтернативы, причем меньшее n принимаем за n ₁ (n ₁=9), а большее за n ₂ (n ₂=10). =24 для a £ 0,5.

Вывод: так как £ , то H ₀ отвергается и принимается гипотеза H ₁.

Сравнение двух зависимых выборок

Т-критерий Вилкоксона

Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. Критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены, по крайней мере, в порядковой шкале, и сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут быть упорядочены. Минимальный объем выборки равен 5.

Схема применения Т-критерия Вилкоксона

1. Составить список пар в любом порядке.

2. Вычислить разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах (после и до). Определить, что будет считаться «типичным» сдвигом и сформулировать соответствующие гипотезы.

3. Перевести разности в абсолютные величины.

4. Проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя меньшему значению меньший ранг.

5. Отметить ранги, соответствующие сдвигам в «нетипичном» направлении.

6. Подсчитать сумму этих рангов по формуле: ,

где - ранговые значения сдвигов с более редким знаком. Это будет наблюдаемым значением критерия T_набл..

7. Определить по таблице критические значения T_кр. для данного объём выборки n и уровня значимости a. Если T_набл. £ T_кр _., нулевая гипотеза отвергается, сдвиг в «типичную» сторону по интенсивности достоверно преобладает.

Пример 4. В группе студентов был проведен тренинг по развитию творческого мышления. Перед тренингом и после него были проведены тесты (стимулирующее воздействие должно повышать творческий потенциал, т.е. увеличивать количество баллов). Получены следующие результаты в баллах:

До тренинга: 19; 20; 18; 15; 29; 21; 21; 18; 21; 23; 14;

После тренинга: 17; 26; 20; 18; 30; 25; 28; 19; 20; 27; 19;

Требуется проверить гипотезу о том что тренинг способствует развитию творческого мышления при уровне значимости a £ 0,05?

Последовательность выполнения

Введём исходные данные в ячейки A2:A13 (показатели до тренинга) и в ячейки B2:B13 (показатели после тренинга), как в предыдущем примере.

В диапазоне С2:С13 получим разность показателей до-после. Для этого в ячейку С2 введём формулу: =B2-A2 и размножим её до ячейки С13. Две из полученных разностей отрицательные, и 10 – положительные. Типичное направление – положительное.

Сформулируем гипотезы:

H ₀: интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

H ₁: интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

В диапазоне D2:D12 вычислим абсолютные значения полученных разностей и проранжируем их. Результаты запишем в диапазон E2:Е12.

Отметим те сдвиги, которые являются нетипичными, в данном случае – отрицательными. Сумма рангов этих редких сдвигов и составляет наблюдаемое значение Т-критерия:

T_набл _. = 2 + 4,5 = 6,5.

По таблице для n = 12 и a £ 0,05 в случае односторонней альтернативы находим T_кр _. = 17.