Лабораторная работа №3. Погрешность функции.
Общая постановка задачи
Основной целью выполнения лабораторной работы является ознакомление с основами работы с погрешностями в среде MatLAB.
В ходе работы необходимо рассчитать погрешности согласно задания.
Теоретическая часть
Погрешность измерения величин
Пусть x – приближённое значение некоторой величины (например, полученное путём однократного измерения этой величины), а x0 – её точное значение.
Абсолютной погрешностью величины называется разность Δ x = | x – x 0|.
Пример. В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, а при округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4.
Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу:
Пример 1.
В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет
Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна или 4,3 %.
|
|
При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность или 0,3 %.
В научных экспериментах многие величины определяются не непосредственно, а косвенным путём – измерением значений других величин. Так, чтобы найти плотность тела, ученые измеряют его массу, взвешивая на весах, после чего определяют объём тела, погружая его в жидкость. Плотность выражается через массу и объём тела. Масса и объём, входящие в эту формулу, измеряются с некоторой погрешностью; это означает, что и плотность будет вычислена по формуле с некоторой погрешностью.
Выведем несколько правил, позволяющих рассчитывать погрешности величин:
1. Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых: Δ(x + y) = Δx + Δy.
2. Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого: Δ(x – y) = Δ x + Δ y.
3. Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.
4. Относительная погрешность произведения приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей:
В частности,
Пример 2.
Определить, какое равенство точнее: .
Найдем значения данных выражений с большим числом десятичных знаков. Для этого выполним следующие действия:
>> format long %длинное представление числа (15 знаков)
>> a1=9/11
a1 =
0.81818181818182
>> a2=sqrt(18)
a2 =
4.24264068711928
Затем вычислим предельные абсолютные погрешности:
>> abs(a1-0.818)
ans =
1.818181818182829e-004
>> abs(a2-4.24)
ans =
0.00264068711928
Округлим их с избытком:
Вычислим предельные относительные погрешности:
|
|
>> 0.00019/0.818
ans =
2.322738386308069e-004
>> 0.0027/4.24
ans =
6.367924528301887e-004
Таким образом,
Так как , то равенство является более точным.
Пример 3.
Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки: .
Для определения верных знаков необходимыми значениями будут являться:
· Число а;
· .
Также, для определения используем неравенство , где n-разряд определяемой цифры числа а.
Пусть ; тогда .
(2) - верно;
(3) - верно;
(5) - верно;
(4) - не верно => цифра является сомнительной.
В данном числе верными являются три цифры, поэтому округляем его, сохраняя эти цифры:
Значит, и в округленном числе 2,35 все три цифры верны.
Пример. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности числа 12,384, если оно имеет только верные цифры.
Так как все пять цифр числа а =12,384 верны, то
Пример 4.
Вычислить и определить погрешности результата , где n =3,0567(±0,0001), m =5,72(±0,02).
Имеем:
Ответ:
Выполнение работы
Задание 1. В ходе выполнения задания необходимо: