Замечательные пределы

Практическая работа №3

Тема: Вычисление пределов функций

Цель: научиться вычислять пределы функций по определению, с использованием замечательных пределов.

 

Методические указания по выполнению практической работы

 

1. Повторите основные определения и теоремы о пределах

2. Разберите примеры применения теорем и формул

3. Подберите для каждого задания соответствующие формулы и правила

Определение 1. Число b называют пределом функции f(x), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все значения функции, начиная с некоторого значения.

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении x к бесконечности равен b)

Теоремы о пределах

 

Пример 1. Вычислить:

Решение: разделим числитель и знаменатель дроби почленно на :

 

Предел функции в точке

Пример 2. Вычислить:

а) выражение определено в любой точке x, поэтому предел функции при стремлении x к 1 равен значению функции в точке x=1:

б) выражение определено в любой точке x≥0, следовательно, предел функции при стремлении x к 2 равен значению функции в точке x=2:

в) если подставить значение x=-3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:

 

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

 

Основные тригонометрические тождества:

Формулы двойного угла:

Формулы половинного аргумента:

 

Пример 3. Вычислить:

Решение:

 

Второй замечательный предел

 

Пример 4. Вычислить:

Решение:

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение бесконечно малой величины (БМВ). Приведите примеры.

2. Какую величину называют бесконечно большой (ББВ)?

3. Какая связь существует между БМВ и ББВ?

4. Перечислите теоремы о пределах и следствия из них.

5. Что представляет собой число е?