Физические основы механики (сведения из теории)

1 2 3 4 5 6 7

Кинематика материальной точки

1. Положение материальной точки в пространстве задается радиус-вектором :

где , – единичные векторы направлений (орты); x, y, z – координаты точки.

Кинематические уравнения движения (в координатной форме)

x= f ₁(t); y = f ₂(t); z = f ₃(t),

где t – время.

2. Средняя скорость движения

где – перемещение материальной точки в интервале времени .

Средняя путевая скорость

где D s – путь, пройденный точкой за интервал времени D t.

Мгновенная скорость

где – проекции скорости на оси координат.

Абсолютная величина скорости

3. Ускорение

где – проекции ускорения на оси координат.

Абсолютная величина ускорения

При произвольном (криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормального и тангенциального ускорений

Абсолютная величина этих ускорений

где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

4. Кинематические уравнения движения материальной точки вдоль
оси х:

а) при равномерном движении–

х = х ₀ + vt, v = const, a _x = 0;

б) при равнопеременном движении –

5. При вращательном движении положение твердого тела определяется углом поворота (угловым перемещением) j. Кинематическое уравнение вращательного движения в общем виде

j = f (t).

6. Средняя угловая скорость

где Dj – изменение угла поворота за интервал времени D t.

Мгновенная угловая скорость

7. Угловое ускорение

8. Кинематическое уравнение вращения тела:

а) при равномерном вращении (w = const, e = 0) –

где j_о – начальное угловое перемещение; t – время.

б) при равнопеременном вращении (e = const) –

где w₀ – начальная угловая скорость; t – время.

в) частота вращения

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t; Т – период вращения (время одного полного оборота).

9. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение материальной точки, принадлежащей вращающемуся телу:

а) длина пути, пройденного точкой по дуге окружности радиусом R при повороте тела на угол j,

;

б) линейная скорость точки

;

в) тангенциальное ускорение точки

;

г) нормальное ускорение точки

Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно.
Силы в механике

10. Уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона) в векторной форме

где – геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; m – масса; – ускорение; – импульс.

В координатной (скалярной) форме

11. Сила упругости

где k – коэффициент упругости (жесткость); х – абсолютная деформация.

12. Сила гравитационного взаимодействия

где G – гравитационная постоянная; m ₁и m ₂ – массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки; r – расстояние между ними.

13. Сила трения

где m – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

14. Координаты центра масс системы материальных точек

где m _i – масса i -й материальной точки; x _i, y _i, z _i – ее координаты.

15. Закон сохранения импульса

где n – число материальных точек (тел), входящих в систему.

16. Работа силы:

а) постоянной – ;

б) переменной – ,

где a – угол между направлениями силы и перемещением .

17. Мощность:

а) средняя – ;

б) мгновенная – .

18. Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося поступательно)

19. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

20. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия

Сила, действующая на данное тело в данной точке поля и потенциальная энергия связаны соотношением

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh,

где h – высота тела над уровнем, принятым на нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при h << R _з (R _з – радиус Земли).

21. Закон сохранения энергии в механике (для замкнутых консервативных систем)

Т + П = const.

Динамика вращательного движения твердого тела

22. Момент инерции материальной точки

I = mr ²,

где m – масса точки; r – ее расстояние от оси вращения.

Момент инерции твердого тела

где r _i – расстояние элемента массы D m _i от оси вращения.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

I = I ₀ + ma ²,

где I ₀ – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно заданной оси; a – расстояние между осями; m – масса тела.

23. Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения

М = F _^ l,

где F _^– проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

24. Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L = I w,

где w – угловая скорость вращения тела; I – момент инерции тела.

25. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Если I = const, то М = I e,

где e – угловое ускорение тела.

26. Закон сохранения момента импульса

где L _i – момент импульса тела с номером i, входящего в состав замкнутой системы тел.

Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

где – момент инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; – те же величины после взаимодействия.

27. Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело

А = Мj,

где j – угол поворота тела.

28. Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела

N = Mw.

29. Кинетическая энергия вращающегося тела

30. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где – кинетическая энергия поступательного движения тела; v – скорость центра инерции тела; – кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Релятивистская механика

В задачах данного пособия по релятивистской механике считается, что оси Y, и Z, сонаправлены, а относительная скорость v ₀ "штрихованной" системы координат К направлена вдоль общей оси (рисунок 1.).

31. Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

где l ₀ – длина стержня в системе координат К ’, относительно которой стержень покоится (собственная длина) (стержень расположен вдоль оси Х); l – длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью v; с – скорость распространения электромагнитного излучения.

32. Релятивистское замедление хода часов

где D t ₀ – промежуток времени между двумя событиями в одной и той же точке системы К ’ (собственное время движущихся часов); D t – промежуток времени между двумя событиями, измеренный по часам системы К.

33. Релятивистское сложение скоростей

где v ’ – относительная скорость (скорость тела относительно системы К ’); v ₀ – переносная скорость (скорость системы К ’ относительно К); v – абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

34. Релятивистская масса