Интегрирование некоторых видов рациональных дробей

А) Интегрирование простейших дробей

Опр. Элементарными или простейшими называются правильные дроби следующего вида:

I. ;

II. ;

III. где квадратный трехчлен не имеет действ. корней;

IV. , где квадратный трехчлен не имеет действ. корней.

Во всех четырех случаях: .

Далее приведем формулы для интегрирования дробей I и II типов (они после линейной замене являются табличными), интегрирование дробей типа III рассмотрим на примерах, тип IV рассматривать не будем.

.

Рассмотрим сначала интегрирование дробей вида где квадратный трехчлен не имеет действ. корней. Это производится с помощью выделения полного квадрата в знаменателе и сведения к табличному интегралу №9 .

Пр. .

Теперь полностью рассмотрим интегрирование простейших дробей третьего типа. Для этого сначала в числителе дроби выделяется производная знаменателя, а затем интеграл раскладывается в сумму двух интегралов. Первый решается с помощью замены, второй – только что рассмотренным способом.

Пр. .

Замечание: Интегралы вида вычисляются так же, как и интеграл от простейшей дроби третьего типа, только сводится к табличным интегралам или .

Пр. (выделим в числителе производную подкоренного выражения) .

В) Интегрирование дробей с помощью разложения на простейшие

Вспомним некоторые факты из теории многочленов:

Любой многочлен может быть разложен в произведение линейных сомножителей и квадратных, не имеющих действительных корней, т.е. .

Рассмотрим более простой случай: Пусть имеется правильная дробь вида и , тогда существуют , такие что:

. Нахождение такого разложения производится методом неопределенных коэффициентов.

Итак:

1) правильную дробь методом неопределенных коэффициентов раскладываем в сумму простейших, интегрирование которых уже описано;

2) в случае неправильной дроби сначала выделяем целую часть (разделив числитель на знаменатель), а затем раскладываем правильный остаток на простейшие.

Пр. Разложить на простейшие дроби: .

, отсюда получаем: , т.е.

Пр. .

Пр. .

 

Всякая правильная дробь разлагается единственным образом на сумму простейших:

Случай 1.

В разложение знаменателя входят только множители первой степени и ни один из них не повторяется. Тогда правильная дробь разлагается на простейшие по формуле , (*)

где А, В, …L находятся по методу неопределенных коэффициентов.

Случай 2.

В разложение знаменателя входят лишь множители первой степени и некоторые из них повторяются. Пусть множитель повторяется k раз. Тогда в разложении (*) надо заменить соответствующие k одинаковых членов суммой простейших дробей вида . Аналогично для других повторяющихся множителей. Простейшие дроби, отвечающие неповторяющимся множителям, остаются прежними. Постоянные, входящие в разложение, определяются, как и в случае 1.

Случай 3.

В разложение знаменателя входят множители второй степени (неразложимые на действительные множители первой степени), и ни один из них не повторяется. Тогда в разложении дроби каждому множителю соответствует простейшая дробь (типа III). Множителям первой степени (если они есть) по-прежнему соответствуют простейшие дроби типа I или II.

Случай 4.

В разложение знаменателя входят множители второй степени (неразложимые на действительные множители первой степени), и некоторые из них повторяются. Тогда в разложении дроби каждому множителю , повторяющемуся k раз, соответствует сумма простейших дробей вида

.