Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления относятся к двоично-кодированным системам, когда основание системы счисления p представляет целую степень двойки:

p = 8 =2³ - для восьмеричной,

p = 16 = 2⁴ - для шестнадцатеричной.

База восьмеричной системы счисления использует для изображения чисел восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание p = 8₍₁₀₎ = 10₍₈₎. Если восьмеричное число записать в развернутом виде в виде суммы значений цифр и выполнить арифметические действия по правилам десятичной системы, то получим десятичный эквивалент восьмеричного числа. Например,

125,4₍₈₎ = 1·8² + 2·8¹ + 5·8⁰ + 4·8^-1 = 85,5₍₁₀₎.

В шестнадцатеричной системе для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и прописные латинские буквы A, B, C, D, E, F, имеющие значение десятичных чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно. Поэтому шестнадцатеричное число может иметь, например, вид 3 E 5, C (16). Представляя это число в развернутом виде, получим

3 E 5, C ₍₁₆₎ = 3·16² + 14·16¹ + 5·16⁰ + 12·16^-1.

Выполняя арифметические операции по правилам десятичной системы, получим: 3 E 5, C (₁₆₎ = 560,75₍₁₀₎.

Арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются в соответствии с таблицами сложения и умножения (табл.2 – 5).

Рассмотрим пример сложения двух чисел в шестнадцатеричной системе счисления (р =16), используя табл. 2.4: DBF ₍₁₆₎ + E 6 C ₍₁₆₎ =?

Таким образом, DBF ₍₁₆₎ + E 6 С ₍₁₆₎ = 1 С 2 B ₍₁₆₎.

Выполняя вычитание восьмеричных или шестнадцатеричных чисел, необходимо помнить о том, что заем единицы в i -м разряде равен основанию системы в (i -1)-м разряде. Найдем разность восьмеричных чисел:

63,2₍₈₎ – 35,64₍₈₎=?

Начнем выполнение действия

_ 63,20

35,64

Нетрудно видеть, что для выполнения вычитания в разряде с весом 8^-2 необходимо сделать заем в разряде с весом 8^-1. Теперь в разряде уменьшаемого с весом 8^-2 фактически имеем 0+8=8₍₁₀₎, то есть:

Значит, в младшем разряде необходимо найти разность 8 – 4=4. Следующий шаг вычитания в разряде с весом 8^-1. Здесь так же необходим заем, но в разряде с весом 8⁰, то есть

Таблица 2

Восьмеричная таблица сложения

+

Таблица 3

Шестнадцатеричная таблица сложения

+

A

B

C

D

E

F

0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

0 A

0 B

0C

0 D

0 E

0 F

A

0 A

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

B

0 B

0 C

0 D

0 E

0 F

1 A

C

0 C

0 D

0 E

0 F

1 A

1 B

D

0 D

0 E

0 F

1 A

1 B

1 C

E

0 E

0 F

1 A

1 B

1 C

1 D

F

0 F

1 A

1 B

1 C

1 D

1 E

Таблица 4

Восьмеричная таблица умножения

Х

Таблица 5

Шестнадцатеричная таблица умножения

Х

A

B

C

D

E

F

0A

0B

0C

0D

0E

0F

0A

0C

0E

1A

1C

1E

0 C

0 F

1 B

1E

2 A

2 D

0 C

1 C

2 C

3 C

0 A

0 F

1 E

2 D

3C

0 C

1 E

2 A

3 C

4 E

5 A

0 E

1 C

2 A

3 F

4 D

5 B

1 B

2 D

3 F

5 A

6 C

7 E

A

0 A

1 E

3 C

5 A

6 E

8 C

B

0 B

2 C

4 D

6 E

8 E

9 A

A 5

C

0 C

3 C

6 C

9 C

A 8

BA

D

0 D

1 A

4 E

5B

8 F

9 C

A 9

B 6

C 3

E

0 E

1 C

2 A

7 E

8 C

9 A

A 8

B 6

C 4

D 2

F

0 F

1 E

2 D

3 C

4 B

5 A

A 5

B 4

C 3

D 2

E1

В разряде с весом 8^-1 необходимо найти разность (8+1) – 6 = 3 и т. д. до конца. Разность составляет: 63,2_{(8 )} – 34,64₍₈₎ =25,34₍₈₎.