Методические указания. Необходимо найти корень функции на отрезке [0, 1]

Необходимо найти корень функции на отрезке [0, 1]. Степень точности e = 10^–6.

 

Метод вилки

Проверим значение функции на концах отрезка:

< 0; > 0.

Значит, уравнение решается согласно теореме Больцано–Коши. Построим таблицу:

 

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
	№	a	b	(a+b)/2	f(a)	f(b)	f((a+b)/2)	delta	Условие

 

· в столбце A будем записывать номер итерации;

· в столбце B – значения отрезка [ a, b ] с его левой стороны, соответственно в столбце C – значения отрезка [ a, b ] с его правой части;

· в столбце D формулу среднеарифметического значения = (a + b)/2;

· в столбце E формулу = а – сos (а);

· в столбце F формулу = b – сos (b);

· в столбце G функцию ;

· в столбце H формулу = abs (a – b);

· в столбце I формулу, по которой проверяют условие delta < 2×10^–6.

Если условие выполняется, в ячейках столбца I записать текст «Корень определен», если не выполняется, то следует записать «Поиск продолжается».

После каждого шага проверяем знак функции на концах отрезка и в следующей строке таблицы присваиваем значение середины отрезка одному из концов согласно следующему алгоритму:

a_n = a _{(n – 1)}, b_n = c, если f(c)f(a _{(n –1)}) < 0,

a_n = c, b_n = b _{(n – 1)}, если f(с)f(a _{(n –1)}) > 0.

После определения корня функции, сравниваем значение N количества итераций c предсказанным по формуле .

Метод итераций

Преобразуем функцию к виду: x = сos (x) и построим таблицу

	A	B	C	D	E	F	G
	№	x	fi(x)	fi’(x)	delta	Погрешность	Условие

 

· в столбце A запишем номер итерации;

· в столбце B значение аргумента, начиная со значения x ₀ = 0,5. В последующих строках задаем это значение равным предыдущему значению функции fi(x);

· в столбце С формулу = сos (x);

· в столбце D производную от сos (x)[†]^*;

· в столбце E формулу разности = abs (fi(x) – x);

· в столбце F формулу, по которой проверяют условие fi’(x) < 0; если условие выполняется, то в ячейках столбца F значение равно 10^–6, если не выполняется, то рассчитывается значение , где q = (1 + abs (сos’(x)))/2;

· в столбце G формулу delta < Погрешность. Если условие выполняется, то в ячейках столбца G записываем текст «Корень определен»; если не выполняется, то «Поиск продолжается».

После нахождения корня функции следует сравнить количество итераций с данными по предыдущему методу.

 

Метод касательных

Представим каждое последующее значение приближения корня в виде

,

после чего выполним следующее:

1. Определим минимальное значение модуля первой производной на отрезке [0, 1] и максимальное значение модуля второй производной на этом отрезке.

Значения x примем от 0 до 1 с шагом 0,05.

	A	B	C	D
	№	x	abs (f’(x))	abs (f”(x))
…
	min(abs (f’(x)) =
		max(abs (f”(x)) =

 

2. Определим значение (запишем его в свободную ячейку).

3. Построим расчетную таблицу:

	A	B	C	D	E
	№	x(i)	x(i+ 1 )	delta	Условие

 

 

· в столбце A запишем номер итерации;

· в столбце B значение аргумента. Начнем со значения x ₀ = 1, а в последующих строках зададим это значение равным предыдущему значению x _{(i +1)};

· в столбце C формулу = ;

· в столбце D формулу разности = abs (x _{(i +1)} – x_i);

· в столбце E формулу, по которой можно проверить условие delta < ε₀.

Если условие выполняется, то в ячейках столбца E записываем текст «Корень определен», если не выполняется, то текст «Поиск продолжается».

После нахождения корня функции нужно выполнить действия:

· сравнить количество итераций с данными, полученными по предыдущим методам;

· построить график зависимости x от abs (f’(x) (точечная диаграмма);

· определить уравнение линии тренда.