Координатный базис

Линейное пространство сигналов

В ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

При решении многих теоретических и практических задач возникают вопросы: 1) в каком смысле можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, что один сигнал превосходит другой; 2) можно ли объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала “похожи” друг на друга?

Функциональный анализ, т.е. раздел математики, обобщающий наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства, дает возможность создать стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным образом сконструированном бесконечном пространстве.

Пусть М={S₁(t), S₂(t)..}- множество сигналов. Причина объединения этих объектов- наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества М’.

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества возможно, когда можно выражать одни элементы через другие. Множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Выбор той или иной структуры должен быть продиктован физическими соображениями.

Множество сигналов М образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал UÎM при любых t принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых UÎM и VÎM существует их сумма W=U+V, причем WÌM. Операция суммирования коммутативна U+V=V+U и ассоциативна U+(V+x)=(U+V)+x.

3. Для любого сигнала SÎM и любого вещественного числа a определен сигнал f=aSÎM.

4. Множество М содержит особый нулевой элемент Ǿ, такой, что U+Ǿ=U для всех UÎM.

Введение структуры линейного пространства является первым шагом на пути к геометрической трактовке сигнала. Элементы линейных пространств часто называют векторами.

Как и в обычном трехмерном пространстве, в линейном пространстве сигналов можно выделить лишь специальное подмножество, играющее роль координатных осей.

Говорят, что совокупность векторов { l₁,, l₂, l₃} принадлежащих М является линейно независимой, если равенство a_i l_i =Ǿ возможно лишь в случае одновременного обращения в ноль всех числовых коэффициентов a_i.

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве. Если дано разложение некоторого сигнала S(t) в виде S(t)=åC_i l _i то числа {C_1, C₂, C₃,..} являются проекциями сигнала S(t) относительно выбранного базиса.