Структурная и приведенная формы модели

Система совместных, одновременных уравнений (или струк­турная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзоген­ные переменные.

Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые пере­менные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные обозначаются обычно как х. Это пре­допределенные переменные, влияющие на эндогенные перемен­ные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Эконо­мические переменные могут выступать в одних моделях как эн­догенные, а в других — как экзогенные переменные. Внеэконо­мические переменные (например, климатические условия) вхо­дят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзоген­ных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые пере­менные). Так, потребление текущего года (у_t) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потреб­ления в предыдущем году (у_t-1).

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изме­нений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регу­лирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целе­вые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эн­догенных и экзогенных переменных коэффициенты b_i и a_j (b_i ‒ коэффициент при эндогенной переменной, a_j ‒ коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурные коэффициенты модели. Все переменные в модели выражены в от­клонениях от среднего уровня, т. е. под х подразумевается , а под у — соответственно . Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффи­циентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линей­ных функций эндогенных переменных от экзогенных:

где ‒ коэффициенты приведенной формы модели.

По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оценива­ются традиционным методом наименьших квадратов. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной фор­мы модели () через коэффициенты структурной модели (b_i и a_j). Для упрощения в модель не введены случайные переменные.

Для структурной модели вида:

приведенная форма модели имеет вид:

в которой у₂ из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом:

Тогда система одновременных уравнений будет представлена как:

Отсюда имеем равенство:

или

.

Тогда:

или

.

Таким образом, мы представили первое уравнение структур­ной формы модели в виде уравнения приведенной формы мо­дели:

Из уравнения следует, что коэффициенты приведенной фор­мы модели представляют собой нелинейные соотношения коэф­фициентов структурной формы модели, т. е.

и .

Аналогично можно показать, что коэффициенты приведен­ной формы модели второго уравнения системы (и ) также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную у₁ из второго структурного уравнения модели как

Запишем это выражение у₁ в левой части первого уравнения структурной формы модели:

.

Отсюда:

что соответствует уравнению приведенной формы модели:

,

т. е.

и .

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Например, Т. Хаавелмо в 1947 г., исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у), предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

где a и b — параметры линейной зависимости с от у;

х — инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта.