Динамика ожидаемой продолжительности жизни в России в 1990-е гг

Построение краткой таблицы смертности

Построение полной таблицы смертности

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ СМЕРТНОСТИ

Функции таблиц смертности

Таблица 6,4

ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ

Таблицы смертности (дожития) - это первый и, пожалуй, самый распространенный и важный вид демографических таблиц. Как уже говорилось, именно с разработкой Дж. Граунтом первой в мире таблицы смертности связывают возникновение демографии как науки.

Принимая во внимание, что мы установили, что из каждых 100 родившихся приблизительно 36 не доживают до шестилетнего возраста и что, возможно, один доживает до 76 лет, мы, имея 7 десятилетий между 6 и 76 годами, пытались найти 6 промежуточных пропорциональных чисел между 64, доживающими до 6 лет, и тем 1, который доживает до76 лет. Мы нашли, что нижеследующие числа достаточно близки к истине: из каждых 100 родившихся умирают в пределах первых 6 лет - 36. В течение следующих 10 лет, или второго десятилетия, - 24. В течение третьего десятилетия - 15. В течение четвертого десятилетия - б. В течение пятого десятилетия - 4. В течение шестого - 3. В течение седьмого - 2. И в течение восьмого - 1.

Отсюда следует, что из упомянутых 100 родившихся в 6 лет остаются в живых 64. В 16 лет - 40; в 26 - 25; в 36 - 16; в 46 - 10; в 56 - 6; в 66 - 3; в

Граунт Дж. Естественные и политические наблюдения, сделанные над бюллетенями смертности.... Лондон, 1662. Цит. по: Smith D.P. Formal Demography. N. Y., London. 1983. P. 73.

Таблицы смертности (дожития) - это числовые модели смертности, служащие для характеристики ее общего уровня и возрастных особенностей в различных населениях. Они представляют собой систему упорядоченных по возрасту и взаимосвязанных между собой рядов чисел, которые в своей совокупности описывают процесс вымирания некоторого теоретического поколения с фиксированной начальной численностью (ко рень таблицы). Обычно ее принимают равной некоторой степени 10, т.е.10 000, 100 000, 1 000 000 и т.п. Чаше всего за корень таблицы смертности принимают 100 000.

В демографии различают таблицы смертности для реального и условного поколения.

В зависимости от шага временной шкалы различают полные (шаг = 1 году) и краткие (шаг = 5 или 10 годам) таблицы.

Показатели (функции) таблиц смертности делятся на интервальные и кумулятивные. Первые характеризуют смертность на данном интервале возраста, вторые - за весь период жизни до или после данного точного возраста.

Показатели (функции) таблиц смертности связаны между собой определенными соотношениями. Все они могут быть вычислены почти из любого из них, но обычно за исходный принимается тот, который наиболее простым и ясным образом характеризует процесс смертности и легче всего получается из статистических данных о смертности. Таким показателем является интервальная вероятность умереть в возрасте (х, х+п) лет, наиболее естественным образом связанная с повозрастными коэффициентами смертности. Обычно построение таблиц смертности начинается именно с этого показателя. И всю историю развития методов такого построения можно рассматривать как совершенствование методов перехода от повозрастных коэффициентов смертности к табличным интервальным вероятностям смерти в возрасте (х, х + п) лет.

Рассмотрим на примере полной таблицы смертности основные ее функции (табл. 6.4):

Графа 1. Возрастной интервал (х, х + 1) год.

Графа 2. Числа доживающих до точного возраста х лет (l_Х). Первое число в этой графе - это конвенциональный корень таблицы смертности. Все прочие представляют собой числа доживающих до точного возраста х лет и равны разности чисел доживающих до точного возраста х -1 год и чисел умирающих на интервале возраста (х, х + 1) лет, т.е. l_x = l_{x 1 -} d_x. С другой стороны, поскольку d_x = l_x*q_x, каждое l_x=l_{x 1} - l_{x 1}* *q_{x 1} = l_{x 1} *(1 - q _{x 1})= l_x *₁P_{x 1}. И поэтому l_x = l₀*p₀*p₁*...*p_{x 1}. Иначе говоря, числа доживающих равны вероятности того, что каждая единица исходной совокупности 1₀ доживет до точного возраста х лет.

Графа 3. Вероятность умереть на интервале возраста (х, х + 1) год, q_x. Каждое q_x представляет собой вероятность того, что человек, достигший точного возраста х лет, не доживет до возраста х + 1 год. Эти вероятности рассчитываются на основе соответствующих повозрастных коэффициентов смертности реального населения. Именно их этих вероятностей затем рассчитываются все остальные показатели таблиц смертности.

Графа 4. Вероятность остаться в живых на интервале возраста (х, х+1) год,р_х. Каждое p_x представляет собой вероятность того, что человек, достигший точного возраста х лет, доживет и до возраста х + 1 год. Является дополнением вероятности q_x до 1,т.е.р_х = 1 - q_x.

Графа 5. Числа умирающих на интервале возраста (х, х + 1) год, d_x. Эти числа также зависят от корня таблицы. Числа в графах 3-5 рассчитываются из наблюдаемых q_x корня таблицы с использованием следующих соотношений: d_x= l_xq_x; l_x+l = l_x - d_x и р_x = 1-q_x.

Графа 6. Доля последнего года жизни для умирающих на интервале возраста (х, х+1) лет, а'_х. Каждый из d_x, умирающих на возрастном интервале (х, х+1) лет, прожил полные х лет плюс некоторую часть этого возрастного интервала. Средняя из этих долей и обозначается а '_х. Ее величина зависит от характера распределения случаев смерти внутри возрастного интервала (х, х + \) лет. В самых младших возрастах это распределение имеет I левостороннюю асимметрию (т.е. сдвинуто к началу возрастного интервала), и потому величина а '_х меньше 1/2, чему она была бы равна в случае равномерного распределения и чему она конвенционально равна для возрастов старше 4 лет. Данный показатель играет важную роль в современных модификациях т.н. демографического метода построения таблиц смертности.

Доля последнего года жизни для умирающих на интервале возраста (х, х + п) лет, (а '_х) рассчитывается в зависимости от особенностей распределения смертности на данном возрастном интервале. В таблице приведены значения этого параметра, взятые из работы американского демографа Чин Лонг Чаня (См.: Chin Long Chiang. The Life Table and Its Construction // Introduction to Stochastic Processes in Biostatistics. N.Y., 1968. PP. 189-214).

Графа 7. Число человеко-лет, прожитых в возрастном интервале (х, х + 1) лет. L_x. Каждый из тех, кто проживет полный

Интервал возраста (х, х+n) пет	Числа доживающих до точного возраста х пет, I*	Вероятность умереть на интервале возраста (х, х+n) лет, nqx	Вероятность остаться в живых на интервале возраста (х, х+n) лет, nРx	Числа умирающих на интервале возраста (х, х+n) лет, ndx	Доля последнего года жизни для умирающих на интервале возраста (х, х+n) пет, na'x	Числа живущих на интервале возраста (х, х+n) лет, nLx	Число человеко-лет, прожитых после достижения точного возраста х лет, Tх	Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни в возрасте х лет, лx
					6			9
0-1	100 000	ndx/ lx	1 - nqx	lx*nqx		(lx - ndx)+ „а 'x *ndx	S,,Ln	Tx/lx
1-2	100000-d0				.43
2-3	lx=lx-1-ndx				.45
3-4					.47
4-5					.49
5-ö					.50

возрастной интервал (х, х + 1 ) лет, вносит в общее число человеко-лет (/_r- d_x) лет. Каждый же из тех, кто умрет на этом интервале возраста, вносит в L_x в среднем а '_х часть этого интервала. Отсюда: L_x - (l_x - d_x)'+ а'_х- d_x (х = О,1, 2- 1). В полных таблицах смертности в возрастах 5 лет и старше величина а '_х принимается равной 1/2 и, поэтому, для этих возрастов L_x - полными аналогами среднегодового населения.

Графа 8. Число человеко-лет, которое предстоит прожить после достижения точного возраста х лет, Т_x Это число равно сумме человеко-лет, прожитых в каждом возрастном интервале начиная с возраста х лет, или Т_х = L_x.

Графа 9. Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни в возрасте х лет, е^л_х. Это число показывает, сколько в среднем предстоит прожить человеку, достигшему возраста х лет. Поскольку всем дожившим до этого возраста (их число равно l_x предстоит прожить Т_х лет, постольку е^л_х=T_x/l_x, лет.

Каждое е^л_х суммирует смертность в возрастах старше x лет, что делает эту графу наиболее важной в таблице смертности. Более того, это одна из трех функций таблицы смертности (наряду с q_x и а'_х), которая имеет смысл безотносительно к корню таблицы. Как правило, е^л_х убывает с возрастом. Единственное исключение представляет собой возраст 0 лет, когда е^л₀ < e^л₁ из-за высокой младенческой смертности. Это называется парадоксом младенческой смертности. В высокоразвитых странах с очень низкими значениями младенческой смертности этот парадокс не действует.

Построение таблиц смертности является в принципе несложной, но достаточно трудоемкой вычислительной процедурой. Она включает в себя несколько этапов³:

· расчет значений исходного показателя для всех возрастов на основе данных статистики смертности (распределения умерших по возрастам);

· если необходимо, обработку этого ряда значений для уст
ранения искажений, вызванных возрастной аккумуляцией;

· интерполяцию ряда значений для устранения возможных
пропусков или экстраполяцию для расчета значений для самых
старших возрастов;

· вычисление остальных функций таблицы смертности.
Основная методическая проблема построения таблиц смертности, как уже говорилось, связана с переходом от реальных показателей повозрастной смертности к табличным вероятностям умереть в данном возрасте, т.е. от т_х* к q_x.

Методы построения таблиц смертности занимают большое место в демографии. Можно повторить уже сказанное выше, что история демографии в значительной мере совпадает с историей разработки и совершенствования этих методов.

Современные таблицы смертности рассчитываются с помощью т.н. косвенного, или демографического, метода. Демографический метод назван так потому, что в его основе лежат данные о повозрастной смертности, а также о возрастно-половой структуре населения, получаемые во время переписей и текущего учета. Косвенным этот метод назван, чтобы противопоставить его т.н. прямому методу, или, иначе, методу Р. Бека, основанному на непосредственном расчете показателей таблицы смертности в ситуации, когда известно распределение смертей на элементарные совокупности сетки Лексиса⁴.

Исходным показателем здесь служит повозрастной коэффициент смертности, который приравнивается к табличному коэффициенту смертности (d_x/L_x) и на основе которого определяются все функции таблицы смертности, начиная, разумеется, с вероятности умереть в возрасте х лет. Демографический метод позволяет строить таблицы смертности, наиболее адекватно отражающие ее уровень. При этом на величину итоговых показателей не влияют колебания чисел родившихся и умерших в годы, предшествовавшие расчету⁵.

Проблема, связанная с переходом от повозрастных коэффициентов смертности к вероятностям смерти на возрастном интервале (х, х+п) лет, состоит в том, что первые, как известно, рассчитываются по отношению к общему числу человеко-лет, прожитых населением на этом возрастном интервале, или к его приближению, т.е. среднегодовому населению. Вторые же рассчитываются по отношению к численности населения в начале возрастного интервала. Чтобы построить таблицу смертности, надо установить соотношение между ними, т.е. между т_х и q_x. Иначе говоря, нужно перейти от т_х к q_x⁶.

Пусть N_x - число доживающих до возраста х лет в реальном населении. Из этого числа до следующего возраста х+1 лет не доживет D_x. Тогда, по определению:

Вместе с тем повозрастной коэффициент смертности т_х равен отношению D_x к числу человеко-лет, прожитых N_x в течение интервала (х, х + 1). Это число человеко-лет, в свою очередь, равно сумме двух слагаемых:

Первое слагаемое - это (N_x - D_x, т.е. число человеко-лет, прожитых на этом интервале возраста теми, кто дожил до возраста (х, х + 1).

Второе слагаемое - это число человеко-лет, прожитых на этом интервале возраста теми, кто не дожил до возраста (х, х + 1), т.е. умер на этом интервале возраста. Это число равно a'_x-D_x.

Последнее выражение есть знакомая формула расчета повозрастного коэффициента смертности.

Решим уравнение Р_х = (N_X -D_x) + a'_xD_x относительно N_x:

N_x=P_x+(1-a'_xD_x). Подставим это выражение в приведенную выше формулу для q_x.

Если числитель и знаменатель этого выражения разделить на Р_x, то получим искомое базисное соотношение между q_x и т_х:

Величины а₀ а₁...варьируют от страны к стране в зависимости от уровня смертности. Для развивающихся стран, в которых смертность высока, обычно принимается а₀ - 0,3, a₁ - 0,4 и 0,5 для всех остальных. Там же, где смертность низка, наилучшей величиной для а₀ является 0,1. В целом выбранная величина не является критичной, за исключением а₀. Более того, существует альтернативный путь определения q₀ без использования вышеприведенной формулы. Речь идет о простом приравнивании q₀ к коэффициенту младенческой смертности. Newell С. Methods and Models in Demography. London. 1988. P. 69.

Приведенное выше уравнение является фундаментальным для построения современных таблиц смертности. Зная все q_x и выбрав корень таблицы смертности l₀ , можно, используя приведенные выше соотношения между ними, построить все остальные функции таблиц смертности.

Идея и метод построения краткой таблицы смертности аналогичны только что рассмотренным для полных таблиц смертности. Разница только в длине возрастного интервала. Длина типичного i- того интервала возраста (х _i, x_i+l) в кратких таблицах равна n _i = x_i+1 - x _i, т.е. превышает 1 год. Чаще всего она равна 5 годам. Существенным элементом здесь является средняя доля этого интервала, прожитая теми, кто умер в этом возрастном интервале.

Эта доля, обозначаемая а _i,является обобщением рассмотренной выше доли а'_х последнего года жизни. Определение этой доли является отдельной задачей, которая может решаться по-разному. Одно из возможных решений приведено во вставке на этой странице. В целом, к счастью, за исключением самых молодых возрастов, выбор величины a_i не является критичным для построения кратких таблиц смертности. Обычно конвенционально принимается, что a ₀ = 0,1 для стран с низкой смертноcтью и 0,3 - для стран с высокой смертностью. Все прочие значения этого параметра принимаются равными 0,4 для всех остальных возрастных интервалов⁷.

Вместе с тем, как показал Чин Лонг Чань⁸, величина a_i не зависит от конкретных значений коэффициента смертности в год, для которого рассчитывается краткая таблица смертности, а определяется лишь тенденцией изменения вероятности смерти внутри возрастного интервала (х_i, x_i+l) и может быть рассчитана на основании данных об одногодичных вероятностях смерти. Наличие специальных компьютерных программ построения таблиц смертности делает расчет этого параметра тривиальной задачей.

...Задача построения всех функций таблицы смертности по возрастным коэффициентам смертности jn (x), которые считаются равными табличным, на практике очень важна. Для ее решения надо решить специальное уравнение 1(х+п) - 1(х_{) - = -n}m(х)_nL_p которое называется основным уравнением таблицы смертности. Существуют различные методы решения этого уравнения. Мы укажем простейший. На основе равенства (6.1) получим рас-

по которой числа доживающих легко восстанавливаются. Достаточно лишь знать _па(х). Обычно полагают _па(х) - 1/2 п, как это сделано в первых советских таблицах смертности... Валентей Д,И,, КвашаА.Я. Основы демографии. М., 1989. С. 119-120.

Формула для вероятности умереть на возрастном интервале (x_j, x_i+1) лет аналогична формуле для полных таблиц смертности и имеет следующий вид:

Эта формула построена при предположении, что внутри возрастного интервала (х + п) вероятность смерти или постоянна, или меняется линейно (в возрастных интервалах 0-1 год и 1- 4 года). Если же гипотеза линейности не принимается, то используют альтернативную формулу Гомперца (1825) и Фарра (1864):

в которой гипотеза линейности заменяется гипотезой экспоненциального изменения вероятности смерти на возрастном интервале (х + п) лет. Соответственно, _nq_x = 1 - _n р_х.

Для возрастного интервала 0 - 1 год как альтернатива иногда просто приравнивают q₀ к коэффициенту младенческой смертности.

Все прочие функции краткой таблицы смертности рассчитываются исходя из вычисленных a_i, q_i и корня таблицы l₀.

Числа умирающих (d_i) на возрастном интервале (x_i, x_{i + l}) лет из числа доживающих до точного возраста x_{i + 1} лет рассчитываются по формулам:

d_i = l _iq_i; и l_{i+ 1} = l_i - d_i, где i=0, 1, 2, 3 - 1.

Число человеко-лет, прожитых на возрастном интервале (x_i, x_i+l) лет, или число живущих на этом интервале, при принятии гипотезы линейности равно: L_i = n_i(l_i - d_i) + a_i n_i d_i, где i= 0,1,2, 3 - 1. Если же принимается экспоненциальная гипотеза, то для возрастного интервала 0 - 1 год используется альтернативная формула:

И для возрастного интервала 1 - 4 года:

₄ l₁ = 1,704 l_i + 2,533 l₅ -237 l ¹⁰.

Для последнего открытого возрастного интервала со эта величина равна:

, где т_w - повозрастный коэффициент смертности.

Покажем на примере данных о повозрастной смертности мужчин в России в 1997 г, процедуру расчета краткой таблицы смертности мужского населения (табл. 6.5). Примем при этом гипотезу линейности, а также значения параметра а_i, равные его величинам по таблице смертности для всего населения США 1960 г., поскольку тогдашний уровень смертности в этой стране довольно близок нынешнему ее уровню в России. Средняя ожидаемая продолжительность жизни для обоих полов в 1960 г. в США равнялась примерно 70 годам, а уровень младенческой смертности - 26,8%о⁹.

В России средняя ожидаемая продолжительность жизни для обоих полов в 1997 г. была равна примерно 67 годам, а уровень младенческой смертности-17,2%о.

Рассчитаем краткую таблицу смертности с помощью нижеследующей пошаговой процедуры.

· Шаг 1. Рассчитываем длину возрастного интервала (x_i, x_i+1), Для интервала 0-1 год она равна 1 году; для интервала 1-4 года она равна 4 годам; для всех прочих - 5 годам. Эту же величину (5 лет) мы условно принимаем и для последнего открытого интервала 85 лет и старше. Хотя знание точного возраста смерти в самых старших возрастах позволяет более точно оценить его длину. Однако для описываемой процедуры длина открытого интервала не играет никакой роли.

· Шаг 2. Переводим значения повозрастных коэффициентов смертности из промилле в относительные доли единицы.

· Шаг 3. Учитывая величину параметра а_i , определяем q_i - вероятность умереть на возрастном интервале (х_i, x_i+l). При этом для интервала 0-1 год принимаем значение q₀ , равное коэффициенту младенческой смертности.

· Шаг 4. С помощью итеративного процесса рассчитываем числа умирающих (d_i) на возрастном интервале (x_i, x_i+l) и числа доживающих (l_i) до точного возраста х лет. При этом l₀ принимаем равным 10 000 (учитывая точность повозрастных коэффициентов смертности); d₀ = l_Oq₀ и 1₁ = l ₀ - d₀ . Затем вся процедура повторяется для каждого возрастного интервала (x_i, x_i+l), кроме последнего открытого интервала 85 лет и старше. На этом интервале вероятность смерти равна единице, поэтому d₁₈ = l ₁₈.

· Шаг 5. Рассчитываем по приведенным выше формулам числа живущих (L_i) на возрастном интервале (x_i, x_i+1). Для последнего открытого возрастного интервала 85 лет и старше эта величина равна: L₁₈ = l₁₈/m₁₈, где m₁₈ - повозрастной коэффициент смертности для этого возрастного интервала.

· Шаг 6. Рассчитываем общее число человеко-лет, которое предстоит прожить дожившим до начала возрастного интервала (x_i, x_i+1) лет (до точного возраста х лет). Эта величина равна сумме всех L_i от i до w (в данном случае до 18).

· Шаг 7. Разделив L_i на l_i, получим среднюю ожидаемую продолжительность предстоящей жизни для дожившего до начала возрастного интервала (x_i,x_i+1) лет (до точного возраста х лет), е_i . Построение краткой таблицы смертности закончено.

В предпоследней колонке таблицы приведены официальные данные о величине e_i, опубликованные в Демографическом ежегоднике РФ 98, а в последней - разность значений этого показателя, рассчитанных нами, и официальных. Как видно, они близки друг к другу, хотя наш расчет показал несколько большие, чем официальные, значения средней ожидаемой продолжительности жизни для возрастов от 0 до 59 лет. Для старших же возрастов, напротив, расчетные значения меньше официальных. Полного совпадения не может быть, поскольку официальные данные рассчитываются по полным таблицам смертности.

В современных условиях расчет таблиц смертности, как кратких, так и полных, значительно упростился и стал гораздо менее трудоемким, чем ранее. Разработаны специальные пакеты программ и электронные таблицы, позволяющие все процедуру расчета таблиц смертности свести к простому вводу ее повозрастных коэффициентов и некоторых других параметров. Примером таких пакетов является Mort-Pak, примером электронных таблиц - LTPOPDTH и LTMXQXAD из комплекта PAS1.

Динамика средней ожидаемой продолжительности жизни в нашей стране за последнее столетие характеризуется сильной неоднородностью, сменой периодов роста этого показателя периодами его довольно резкого и глубокого падения*. Однако на протяжении 70 с лишним лет основной тенденцией было снижение смертности и рост средней ожидаемой продолжительности жизни. В конце XIX в. величина этого показателя была равна 29,4 года для мужчин и 31,7 года для женщин, или примерно на 10 лет ниже, чем в странах Запада. Через примерно 30