Задача № 5.
Решение задачи 4
Задача 4.
Мы располагаем чистой таблицей смертности для мужчин. Корень таблицы равен 100000.
Точный возраст | Числа доживающих |
67 345 | |
62 205 | |
55 629 | |
47 179 | |
37 023 | |
25 638 |
1. Принимая во внимание, что предельный возраст равен 100 годам, рассчитайте среднюю продолжительность предстоящей жизни для доживших до точного возраста 50 лет.
2. Рассчитайте вероятность умереть между точными возрастами 50 и 55 лет. Какую гипотезу при этом вы приняли во внимание?
3. Оцените на основе той же гипотезы коэффициент смертности между точными возрастами 50 и 55 лет.
4. Рассчитайте наилучшим возможным способом коэффициент смертности между точными возрастами 50 и 75 лет.
5. Преобразуйте этот коэффициент в вероятность. Сравните результат с табличной вероятностью умереть между точными возрастами 50 и 75 лет. Прокомментируйте полученный результат.
Точный возраст | Числа Доживающих 1х | ndx | nLx | х + 0,5n |
67 345 | 323 875 | 52,5 | ||
62 205 | 294 585 | 57,5 | ||
55 629 | 257 020 | 62,5 | ||
47 179 | 10 156 | 210 505 | 67,5 | |
37 023 | 11 385 | 156 653 | 72,5 | |
25 638 | 25 638 | 64 095 | 87,5 | |
Чтобы рассчитать среднюю продолжительность предстоящей жизни для доживших до 50 лет, достроим таблицу смертности, при расчете nLx предположив, что смерти распределены линейно в возрастных интервалах от х до х + n. Затем найдем e50 по формуле: e50 = Т50/150 = = (50L50 + 5L55 + …+ 5L75)/l50 = 1 306 733/67 345 – 19,4.
|
|
Вероятность умереть между точными возрастами 50 и 55 лет рассчитаем по формуле: l - l55 / l50 = l - 62 205/67 345 = 0,0763, предположив равномерное распределение смертей в интервале 50 -55 лет.
Коэффициент смертности между точными возрастами 50 и 55 лет рассчитывается по формуле: 5m50 =5d50 / 5L50 = 5140/323 875 = 0,0159.
Чтобы рассчитать коэффициент смертности между точными возрастами 50 и 75 лет, найдем число умерших в этом интервале и разделим его на число человеко-лет, прожитых в интервале возраста 50 - 75 лет дожившими до возраста 50 лет. Воспользуемся формулой: 25m50 = (l50 - l75) / (T50 - T75) = 0,0336.
Используя упрощенную формулу Кетле—Фарра, преобразуем этот коэффициент в вероятность: 25q50 = (2 * 25 * 0,0336) / (2 + 25 * 0,0336) = 0,5915. Вероятность умереть, рассчитанная на основе таблицы смертности как отношение чисел дожиживающих до точных возрастов 75 и 50 лет: 25 638/67 345 = 0,3807.
Расчет таблицы смертности в закрытом населении.
Для населения некоторого города известны следующие коэффициенты смертности:
x | nmx | nqx | lx | ndx | nlx |
0,078 65 | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | |
1-4 | 0,007 06 | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü |
5-10 | 0,001 99 | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü |
9-14 | 0,0015 | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü |
15-19 | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü |
Предполагается, что в течение 15 лет повозрастная смертность не меняется.
|
|
Приняв необходимые гипотезы, рассчитайте:
1) вероятность дожить от рождения до точного возраста 15 лет;
2) коэффициент смертности в интервале 0-15 лет;
3) вероятность умереть между точным возрастом 3 и 5 лет.
x | Nmx | nqx | lx | ndx | nLx |
0,078 65 | 0,075 67 | 100 000 | 96 216 | ||
1-4 | 0,007 06 | 0,027 85 | 92 433 | 364 584 | |
5-10 | 0,001 99 | 0,009 90 | 89 859 | 447 070 | |
9-14 | 0,0015 | 0,007 47 | 88 969 | 443 185 | |
15-19 | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 88 305 | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü | 䦋㌌㏒㧀좈琰茞ᓀ㵂Ü |
Используем гипотезу равномерного распределения смертей в возрастных интервалах и достроим таблицу, применяя следующие формулы:
nqx = 2n* nmx/2+n* nmx;
lx* nqx = ndx;
lx - ndx = lx+1;
nLx = 2/n(lx + lx+1)
(при условии линейности функции дожития); то же самое можно записать следующим образом: n* lx+n +n/2(lx - lx+n). Рассчитаем вероятность дожить от рождения до т много возраста 15 лет:
15p0 = 88 305/100 000 = 0,88 305
2. Добавим гипотезу закрытого населения (отсутствия миграции) и рассчитаем вероятность умереть в интервале от рождении до точного возраста 15 лет и соответствующий коэффициент смертности:
15q0 =1-0,88305 = 0,11695;
15m0= 2*15q0/15(2- 15q0)=0,008 28.
Использование гипотезы о линейности функции дожития (равномерного распределения смертей в возрастных интервалах) в данном случае приводит к не вполне удовлетворительным результатам. Чем длиннее возрастной интервал, тем слабее выражена линейность. При интервале более 5 лет использование гипотезы линейности сомнительно.
Другая формула расчета коэффициента смертности и интервале возраста 0-15 лет исходит из сути коэффициентов (число смертей, отнесенное ко времени, прожитому в интервале данным поколением):
15m0=7567 + 2574 + 890 + 664/ 96 216+ 364 584+ 447 070 + 443185 = 0,008 66
- это лучшая оценка, так как она основана на гипотезе линейности функции дожития на отдельных, более коротких интервалах.
3. Используя гипотезу о равномерности распределения смертей в возрастных интервалах, рассчитаем числа доживающих до точных возрастов 3 и 7 лет:
интервал от 1 года до 5 лет: 2574/4=644, отсюда l3=l1 – 2*644 = 91 145;
интервал от 5 до 10 лет: 890/5 = 178 отсюда l7 = l5 - 2 * 178 = 89 503.
Найдем вероятность дожить от точного возраста 3 года до точного возраста 7 лет: l7/l3 = 0,98198, а также вероятность умереть при переходе от точного возраста 3 года к точному возрасту 4 года: 4q3 = 1 - (l7/l3) = 0,018 02.
В расчетах были использованы две упрощающие решение гипотезы:
линейность функции дожития во всех возрастах;
линейность функции дожития в интервале 0-1 год.
В реальной жизни для ответа на вопросы 2 и 3 нужно проверить, менялась ли смертность на протяжении последних 15 лет, присутствовала ли миграция.