Решение задачи 5

Задача № 5.

Решение задачи 4

Задача 4.

Мы располагаем чистой таблицей смертности для мужчин. Корень таблицы равен 100000.

Точный возраст	Числа доживающих
	67 345
	62 205
	55 629
	47 179
	37 023
	25 638

1. Принимая во внимание, что предельный возраст равен 100 годам, рассчитайте среднюю продолжительность предстоящей жизни для доживших до точного возраста 50 лет.

2. Рассчитайте вероятность умереть между точными возрастами 50 и 55 лет. Какую гипотезу при этом вы приняли во внимание?

3. Оцените на основе той же гипотезы коэффициент смертности между точными возрастами 50 и 55 лет.

4. Рассчитайте наилучшим возможным способом коэффициент смертности между точными возрастами 50 и 75 лет.

5. Преобразуйте этот коэффициент в вероятность. Сравните результат с табличной вероятностью умереть между точными возрастами 50 и 75 лет. Прокомментируйте полученный результат.

Точный возраст	Числа Доживающих 1х	ndx	nLx	х + 0,5n
	67 345		323 875	52,5
	62 205		294 585	57,5
	55 629		257 020	62,5
	47 179	10 156	210 505	67,5
	37 023	11 385	156 653	72,5
	25 638	25 638	64 095	87,5

Чтобы рассчитать среднюю продолжительность предстоящей жизни для доживших до 50 лет, достроим таблицу смертности, при расчете nLx предположив, что смерти распределены линейно в возрастных интервалах от х до х + n. Затем найдем e50 по формуле: e50 = Т50/150 = = (50L50 + 5L55 + …+ 5L75)/l50 = 1 306 733/67 345 – 19,4.

Вероятность умереть между точными возрастами 50 и 55 лет рас­считаем по формуле: l - l55 / l50 = l - 62 205/67 345 = 0,0763, предположив равномерное распределение смертей в интервале 50 -55 лет.

Коэффициент смертности между точными возрастами 50 и 55 лет рассчитывается по формуле: 5m50 =5d50 / 5L50 = 5140/323 875 = 0,0159.

Чтобы рассчитать коэффициент смертности между точными воз­растами 50 и 75 лет, найдем число умерших в этом интервале и разделим его на число человеко-лет, прожитых в интервале возраста 50 - 75 лет дожившими до возраста 50 лет. Воспользуемся формулой: 25m50 = (l50 - l75) / (T50 - T75) = 0,0336.

Используя упрощенную формулу Кетле—Фарра, преобразуем этот коэффициент в вероятность: 25q50 = (2 * 25 * 0,0336) / (2 + 25 * 0,0336) = 0,5915. Вероятность умереть, рассчитанная на основе таблицы смертности как отношение чисел дожиживающих до точных возрастов 75 и 50 лет: 25 638/67 345 = 0,3807.

Расчет таблицы смертности в закрытом населении.

Для населения некоторого города известны следующие коэффициенты смертности:

x	nmx	nqx	lx	ndx	nlx
	0,078 65	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü
1-4	0,007 06	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü
5-10	0,001 99	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü
9-14	0,0015	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü
15-19	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü

Предполагается, что в течение 15 лет повозрастная смертность не меняется.

Приняв необходимые гипотезы, рассчитайте:

1) вероятность дожить от рождения до точного возраста 15 лет;

2) коэффициент смертности в интервале 0-15 лет;

3) вероятность умереть между точным возрастом 3 и 5 лет.

x	Nmx	nqx	lx	ndx	nLx
	0,078 65	0,075 67	100 000		96 216
1-4	0,007 06	0,027 85	92 433		364 584
5-10	0,001 99	0,009 90	89 859		447 070
9-14	0,0015	0,007 47	88 969		443 185
15-19	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	88 305	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü

Используем гипотезу равномерного распределения смертей в возрастных интервалах и достроим таблицу, применяя следующие формулы:

nqx = 2n* nmx/2+n* nmx;

lx* nqx = ndx;

lx - ndx = lx+1;

nLx = 2/n(lx + lx+1)

(при условии линейности функции дожития); то же самое можно записать следующим образом: n* lx+n +n/2(lx - lx+n). Рассчитаем вероятность дожить от рождения до т много возраста 15 лет:

15p0 = 88 305/100 000 = 0,88 305

2. Добавим гипотезу закрытого населения (отсутствия миграции) и рассчитаем вероятность умереть в интервале от рождении до точного возраста 15 лет и соответствующий коэффициент смертности:

15q0 =1-0,88305 = 0,11695;

15m0= 2*15q0/15(2- 15q0)=0,008 28.

Использование гипотезы о линейности функции дожития (равно­мерного распределения смертей в возрастных интервалах) в данном случае приводит к не вполне удовлетворительным результатам. Чем длиннее возрастной интервал, тем слабее выражена линейность. При интервале более 5 лет использование гипотезы линейности сомнительно.

Другая формула расчета коэффициента смертности и интервале возраста 0-15 лет исходит из сути коэффициентов (число смертей, отне­сенное ко времени, прожитому в интервале данным поколением):

15m0=7567 + 2574 + 890 + 664/ 96 216+ 364 584+ 447 070 + 443185 = 0,008 66

- это лучшая оценка, так как она основана на гипотезе линейности функции дожития на отдельных, более коротких интервалах.

3. Используя гипотезу о равномерности распределения смертей в возрастных интервалах, рассчитаем числа доживающих до точных воз­растов 3 и 7 лет:

интервал от 1 года до 5 лет: 2574/4=644, отсюда l3=l1 – 2*644 = 91 145;

интервал от 5 до 10 лет: 890/5 = 178 отсюда l7 = l5 - 2 * 178 = 89 503.

Найдем вероятность дожить от точного возраста 3 года до точного возраста 7 лет: l7/l3 = 0,98198, а также вероятность умереть при переходе от точного возраста 3 года к точному возрасту 4 года: 4q3 = 1 - (l7/l3) = 0,018 02.

В расчетах были использованы две упрощающие решение гипотезы:

линейность функции дожития во всех возрастах;

линейность функции дожития в интервале 0-1 год.

В реальной жизни для ответа на вопросы 2 и 3 нужно проверить, менялась ли смертность на протяжении последних 15 лет, присутство­вала ли миграция.