Численное интегрирование

Численное интегрирование, как и другие численные методы, используется в тех случаях, когда интегрирование аналитическими методами вызывает затруднения, связанные с невозможностью отыскания первообразной функции из-за отсутствия приемлемых выражений, или в связи со сложностью расчётов. Однако известно, что определённый интеграл существует для любой непрерывной функции. Нахождение его численными методами предусматривает замену подынтегральной функции её приближением, для которого нахождение определённого интеграла достигается путём конечного числа вычислений с заданной точностью. Таким образом, основным этапом интегрирования становится нахождение простой интегрируемой функции, с достаточной точностью описывающей исходное подынтегральное выражение.

Пусть необходимо найти определённый интеграл I = S_a^b f(x)dx

от функции f(x) на интервале (a,b) (рис20)

Рис.20 Рис.21

Определённый интеграл I представляет собой площадь фигуры,ограниченной непрерывной функцией f(x), осью x и ординатами функции в точках границ интервалов a и b. Вычислить аналитически площадь такой фигуры можно только для небольшого количества функций f(x).

Приближённый численный метод вычисления заключается в следующем.

Разделим интервал интегрирования (a,b) на n равных частей длиной h

h = (b-a)/n

Разделим фигуру, интерпретирующую площадь (интеграл), на n фигур, представляющих собой криволинейные трапеции с постоянной высотой h и сторонами, равными значениям функции f(x) в соседних точках с ординатами (x_i-1, x_i) (рис.21).

Значения x определяются как:

x₀ = a

x₁ = a+h

x₂ =a+2h

...............

x_i =a+ih

...............

x_n = b

Площадь каждой из криволинейных трапеций представляет собой определённый интегралв пределах от x_i-1 до x_i, а сумма площадей всех трапеций соответствует искомому значению определённого интеграла в пределах (a,b).

Если выбрать достаточно большое число отрезков n, то криволинейная сторона каждой трапеции с достаточной точностью может быть заменена отрезком прямой. Тогда задача вычисления определённого интеграла сводится к нахождению суммы площадей «маленьких» трапеций по выражению

I = S_i=1ⁿS_i, где

S_i = (h/2)* (f(x_i-1)+f(x_i)) -

- площадь каждой трапеции.

Полученная зависимость используется вычислений интеграла по двум основным формулам численного интегрирования - Формуле трапеций и Формуле Симпсона.

Формула трапеций

Запишем выражение для вычисления определённого интеграла при достаточно большом n, позволяющем заменить криволинейную функцию на интервале (x_i-1, x_i) отрезком прямой:

I = S_i=1ⁿS_i = S_i=1ⁿ(h/2)*(f(x_i-1)+f(x_i)) = (h/2)*S_i=1ⁿ(f(x_i-1)+f(x_i)) =

=(h/2)*(f(x₀)+f(x₁)+f(x₁)+

+ f(x₂)+f(x₂)+...+f(x_n-1)+f(x_n)) = (h/2)*(f(x₀)+f(x_n)+2S_i=1^n-1f(x_i)) =

= h*(f(a) + f(b) + 2*S_i=1^n-1f(x_i))/2.

В полученной формуле трапеций все элементы известны, а характер формулы позволяет сформировать вычислительный процесс в виде цикла. Точность вычислений повышается с увеличением количества разбиений n.

Формула Симпсона

Для функций с большой динамикой, где кривизна графика существенна, повышение точности вычислений обеспечивается заменой криволинейной части элементарной трапеции не отрезком прямой, а частью параболы. Поскольку парабола описывается уравнением второго порядка, необходимо использовать три точки, через которые можно провести единственную параболу

Рис.22

Площадь трапеции, одна из сторон которой является параболой, определяется с помощью интегрирования этой параболы:

I=(h/3)*[f(a)+f(b)+ 4 *(f(x₁)+f(x₃)+...+f(x_n-1))+ + 2* (f(x₂)+f(x₄)+...+f(x_n-2))]

Для использования формулы Симпсона число отрезков n должно быть чётным.

Коэффициент для нечётных индексов x (i = 1,3,5,...,n-1) равняется 4.

Коэффициент для чётных индексов x (i =2,4,6,...,n) равняется 2.

За счёт использования трёх точек и кривой второго порядка (параболы) точность формулы Симпсона принципиально выше точности формулы трапеций.