Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка

Дано дифференциальное уравнение 1 порядка и функция f(x;y) непрерывна вместе с частными производными в некоторой области D плоскости XOY, тогда через точку М₀(х₀;y₀)D проходит единственная кривая соответствующая частному решению дифференциального уравнения соответствующему начальному условию y(x₀)=y₀

Через точку плоскости с данными координатами проходит 1 интегральная кривая.

Если не удаётся получить общее решение дифференциального уравнения 1 порядка в явном виде, т.е , то его можно получить в неявном виде:

F(x; y; c) =0 – неявный вид

Общее решение в таком виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

По отношению к дифференциальному уравнению 1 порядка ставится 2 задачи:

1)Найти общее решение (общий интеграл)

2)Найти частное решение (частный интеграл) удовлетворяющее заданному начальному условию. Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения вида: называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Подставим

умножим на dx

разделим переменные

разделим на

Замечание: обязательно нужно рассматривать частный случай, когда

переменные разделены

проинтегрируем обе части уравнения

- общее решение

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде:

Отдельный случай !

Проинтегрируем обе части уравнения:

Примеры:

1)

2) нач. условия: