2014-01-25
759
Дано 2 ряда с положительными членами
(1) и 
(2) и начиная с некоторого номера N выполняется неравенство 
, тогда если (2) сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).
Доказательство: Обозначим через 
- n – частичная сумма 1 ряда и 
- n – частичная сумма 2 ряда.
Т.к 
. Пусть 2 ряд сходится, тогда 
, причём 
ограничена сверху числом 
(1) сходится.
Пусть 1 ряд расходится 
, т.к 
расходится.
Конец доказательство.
Замечание: при доказательстве этого признака мы считали, что неравенство выполняется с 1 номера. Этот факт не влияет на сходимость, т.к по свойству рядов отбрасывание n – первых членов ряда на сходимость ряда не влияет.
Для сравнения необходим стандартный набор рядов, о сходимости всё известно. К таким рядам относятся:
| Ряды для сравнения: | |
Ряды членов геометрической прогрессии:
| Обобщенно гармонический ряд:
(строгое доказательство будет проведено после интегрального признака сходимости)
|
Примеры:
|
|
|
1)
2) 
3) 
II признак сравнения (предельный)
Дано 2 ряда с положительными членами(1) и (2) и 
- число 
(1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство:
- число по определению предела последовательности:
с которого 
Пусть (2) сходится, тогда сходится и 
Из правой части
следует, что (1) ряд меньше сходящегося ряда по 1 признаку сравнения (1) сходится
Пусть (2) расходится выберем 
настолько малым, чтобы 
оставалось >0, для знакоположительности ряда 
- расходится. Из левой части (*)(1) ряд>ряда расходящегося по I признаку сравнения (1) ряд расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1) 
2) 
3) 
