Интегральный признак Коши

Дан ряд с положительными членами , что () и функция f(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= . Тогда несобственный интеграл и сходится и расходится одновременно.

Доказательство:

f(n)=U_n

_n

S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))

- n частичная сумма ряда.

S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)

- n+1 частичная сумма ряда.

очевидно неравенство

Пусть несобственный интеграл сходится

Из левой части <числа - ограничена сверху числом - сходится.

Пусть расходится из правой части (*)неограничен ряд расходится.

Конец доказательства.

Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:

свяжем с эти рядом несобственный интеграл

(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.

Примеры:

1)

2)