Радикальный признак Коши

Дан ряд с положительными членами и

Если - сходиться

Если - расходиться

Если - вопрос о сходимости не решен

Доказательство:

по определению , начиная с которого

1) Пусть С<1 выберем настолько малым, чтобы , тогда из правой части <, ряд , где q<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.

2) Пусть С>1 выберем настолько малым, чтобы >1из левой части >;(q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.

3)С=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится (p=1) и -сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.

Таким образом, при С=1 ряд может как сходится так и расходится.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)