Умножение вектора на действительное число

Определение 6. Произведением ненулевого вектора на отличное от нуля действительное число a называется такой вектор (обозначение ), что

,

, если a > 0,

, если a < 0.

Если или a = 0, то вектор считается равным нулевому вектору.

Свойства операции умножения вектора на действительное число.

1⁰. Произведение любого вектора на любое действительное число определено и однозначно.

2⁰. 1для любого вектора .

3⁰. для любого вектора и любых действительных чисел a, b.

Доказательство. Возможны случаи.

1) a = 0, или b = 0, или = . В этом случае равенство очевидно.

2) a ¹ 0, b ¹ 0 и ¹ . Сравним длины и направления векторов, стоящих в левой и правой частях доказываемого равенства.

,

.

Следовательно, . Так как направления векторов зависят от знаков коэффициентов, то рассмотрим все возможные случаи.

а) a и b одного знака (пусть a > 0, b > 0). В этом случае a × b > 0.

,

, следовательно, .

Итак, левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.

б) a и b имеют разные знаки (пусть a > 0, b < 0). В этом случае a × b < 0.

.

.

Снова получили, что левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.

4⁰. и ( для любых векторов , и любых действительных чисел a, b. (Докажите это свойство самостоятельно).