Определение и свойства векторов

Определение 1. Геометрический отрезок называется ориентированным, если указан порядок его концов.

Определение 2. Вектором (геометрическим вектором) называется ориентированный отрезок. При этом начало и конец ориентированного отрезка называются соответственно началом и концом вектора. Длина ориентированного отрезка называется длиной вектора.

Вектор обозначается , где А – начало, а В – конец вектора. Если начало и конец вектора нас не интересуют, то вектор обозначают . Длина вектора обозначается или . Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называют нулевым и обозначают . Если начало и конец вектора – различные точки (А ¹ В), то существует и только один луч с началом А, проходящий через точку В. Этот луч задаёт в пространстве направление, которое называется направлением данного вектора. Нулевой вектор не имеет направления.

Определение 3. Два вектора называются равными, если они либо оба нулевые, либо имеют одинаковые длину и направление.

Равенство векторов обладает следующими очевидными свойствами: 1) рефлексивность (всякий вектор равен сам себе); 2) симметричность (если , то ); 3) транзитивность (если и , то ).

Множество всех равных векторов можно задать 1) одним из векторов (ориентированным отрезком); 2) упорядоченной парой точек; 3) длиной и направлением (в случае ненулевого вектора).

Пусть даны вектор и точка А. Если , то существует и только один вектор с началом в точке А, равный данному вектору. Это вектор (т.е. В = А). Если , то существует и только один луч, сонаправленный с вектором . На этом луче существует и только одна точка В, расстояние от которой до точки А равно . Но тогда

Рис. 1

(рис. 1). Будем говорить, что вектор отложен от точки А. Итак, любой вектор можно отложить от любой точки и только единственным образом.