Область сходимости

Для нахождения области сходимости функционального ряда удобно пользоваться признаками Даламбера или Коши. Но члены функционального ряда при различных х могут быть как положительными, так и отрицательными, поэтому члены данного ряда берут по абсолютной величине. Например, в признаке Даламбера вычисляют предел < 1.

При этом концы интервалов исследуются отдельно, т.к. на концах указанные пределы равны 1, и признаки ответа не дают.

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда .

Решение. Если х = 0, то , и ряд состоит из нулей, т.е. сходится. Применим признак Даламбера для х ≠ 0:

, , .

Так как и при , то ~ ,

а ~ и

< 1.

По признаку Даламбера ряд сходится. Значит, ряд сходится при любом х, т.е. область сходимости ряда – вся числовая ось.

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда .

Решение. Заметим, что, так как члены данного функционального ряда положительны, то вычислять предел можно без знаков модуля:

, ,

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если < < 1, откуда > , > , что равносильно двум неравенствам > и < –или >и < . Следовательно, получены два промежутка , , где сходится ряд.

Концы промежутков и остались неисследованными, так как в случае, если или , выражение = 1, и признак Даламбера ответа не даёт. Поэтому концы интервала исследуем отдельно.

Подставив в данный ряд , получим ряд

,

который расходится как гармонический.

Подставив в данный ряд , получим опять гармонический ряд

который тоже расходится.

Поэтому областью сходимости данного ряда являются два интеграла: , .