2014-01-25
697
Введем на множестве комплексных чисел отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.
· Два комплексных числа 
и 
называются равными, если равны их действительные и мнимые части:
, 
В частности, 
, 
.
Заметим, что:
1) одно равенство комплексных чисел равносильно двум равенствам и действительных чисел;
2) понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел не определяются.
· Суммой (разностью) комплексных чисел 
и 
называется комплексное число
.
Пример. Найти сумму комплексных чисел 
и 
.
Решение. 
.
Операция сложения комплексных чисел обладает свойствами:
1. 
(переместительный закон)
2. 
(сочетательный закон)
3. 
4. Для каждого комплексного числа 
существует такое число , которое в сумме дает нуль: 
. Оно называется противоположнымкомплексным числом для и обозначается 
. Таким образом, 
.
· Произведением комплексных чисел и называется комплексное число
.
Отсюда получаем важное соотношение:
, то есть 
.
Не стоит запоминать формулу умножения – правило умножения получается формально путем умножения двучленов 
и 
с учетом 
.
Пример. Найти произведение комплексных чисел и .
.
Операция умножения комплексных чисел обладает свойствами:
1. 
(переместительный закон)
2. 
(сочетательный закон)
3. 
(распределительный закон)
4. Произведение взаимно сопряженных комплексных чисел 
и 
равно квадрату их модуля: 
.
· Частным от деления комплексного числа 
на комплексное число (
) называется комплексное число, равное
.
Найдем действительную и мнимую части частного двух комплексных чисел. Домножим числитель и знаменатель на число 
, сопряженное знаменателю:
Сама формула громоздка и трудно запоминается. Поэтому проще умножить числитель и знаменатель дроби 
на , то есть на число, сопряженное знаменателю, и произвести преобразования.
Пример. Найти частное от деления комплексного числа на число .
.
