Плоскость. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор

Пространство

Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор.

Уравнение плоскости в отрезках на осях.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную

точку и перпендикулярной заданному вектору.

Условие параллельности плоскостей.

Условие перпендикулярности плоскостей.

Расстояние между двумя точками.

Расстояние от точки до плоскости.

Угол между плоскостями.

Общее уравнение плоскости:

Ах + Ву + Сz + D = 0,

где А, B и C не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А, B и C являются координатами нормального вектора плоскости (т.е. вектора, перпендикулярного плоскости).

При А 0, В 0, С 0 и D 0 получаем уравнение плоскости в отрезках на осях:

где a = – D / A, b = – D / B, c = – D / C. Эта плоскость проходит через точки (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a, b и c.

Уравнение плоскости, проходящей через точку (х ₀, у ₀, z ₀ ) и перпендикулярной вектору (А, В, C):

А (х – х ₀) + В (у – у ₀) + С (z – z ₀) = 0.

Условие параллельности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

AF – BE = BG – CF = AG – CE = 0.

Условие перпендикулярности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

АE+ ВF+ СG = 0.

Расстояние между двумя точками (х ₁, у ₁, z ₁ ) и (x ₂, y ₂, z ₂):

Расстояние от точки (х ₀, у ₀, z ₀ ) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0:

Угол между плоскостями Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0: